Question

20．已知拋物線C₁：y²=2px與圓C₂：（x-2）²+y²=4交于O，A，B三點，且△OAB為直角三角形．
（1）求C₁的方程；
（2）過坐標(biāo)原點O作直線l分別交C₁，C₂于點F，E，若E是OF的中點，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目條件求得點A的坐標(biāo)，即可求得拋物線的方程；
（2）設(shè)出直線的方程，將其與拋物線的方程進(jìn)行聯(lián)立，求得點E的坐標(biāo)，代入圓C₂的方程，求得k的值即可．

解答 解：（1）因為拋物線C₁：y²=2px與圓C₂：（x-2）²+y²=4都關(guān)于x軸對稱，
所以交點A，B關(guān)于x軸對稱，
又因為△OAB為直角三角形，所以AB為圓C₂的直徑，
不妨設(shè)點A在第一象限，則可得點A（2，2），代入拋物線方程得p=1，
所以拋物線C₁的方程為y²=2x．---------------（5分）
（2）根據(jù)題意可知直線l的斜率存在，所以設(shè)直線l的方程為y=kx，
設(shè)點E（x_E，y_E），F(xiàn)（x_F，y_F），聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{y^2}=2x}\end{array}}\right.$，可解得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_F}=\frac{2}{k^2}}\\{{y_F}=\frac{2}{k}}\end{array}}\right.$，
因為E是OF的中點，所以$\left\{{\begin{array}{l}{{x_E}=\frac{1}{k^2}}\\{{y_E}=\frac{1}{k}}\end{array}}\right.$，代入圓C₂方程得${（\frac{1}{k^2}-2）^2}+\frac{1}{k^2}=4$，
整理可得$\frac{1}{k^4}-\frac{3}{k^2}=0$，又因為k≠0，所以$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
所以直線l的方程為$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$．-------------（12分）

點評 本題考查拋物線的方程的求法，考查拋物線與直線的綜合，屬于中檔題．