Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，前n項(xiàng)和S_n=2a_n-n，（n∈N^*）
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）試比較S_n與2-n的大小關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）令n=1代入所給的式子求出a₁+1的值，再由n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n，代入化簡得到數(shù)列的遞推公式，再求出

an+1

an-1+1

是常數(shù)，則結(jié)論得證；
（2）根據(jù)（1）和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n，再代入S_n=2a_n-n化簡，再作差：S_n-（2-n）并變形，由n的范圍判斷出符號(hào)，得到二者的大小關(guān)系．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-1，
∴a₁=1，解得a₁+1=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1，
∴

an+1

an-1+1

=

2an-1+2

an-1+1

=2
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)以2為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）an+1=2n，an=2n-1，
∴Sn=2an-n=2n+1-n-2
又∵n∈N^*，n≥1，
∴Sn-(2-n)=2n+1-4≥0
∴S_n≥2-n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的證明，通項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的轉(zhuǎn)化問題．