1.()在長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長為2的正方形,高為4,則點A1到截面AB1D1的距離是( )
A. B. C. D.
2.()在直二面角α-l-β中,直線aα,直線bβ,a、b與l斜交,則( )
A.a不和b垂直,但可能a∥b B.a可能和b垂直,也可能a∥b
C.a不和b垂直,a也不和b平行 D.a不和b平行,但可能a⊥b
3.()設X、Y、Z是空間不同的直線或平面,對下面四種情形,使“X⊥Z且Y⊥ZX∥Y”為真命題的是_________(填序號).
①X、Y、Z是直線 ②X、Y是直線,Z是平面 ③Z是直線,X、Y是平面 ④X、Y、Z是平面
4.()設a,b是異面直線,下列命題正確的是_________.
①過不在a、b上的一點P一定可以作一條直線和a、b都相交
②過不在a、b上的一點P一定可以作一個平面和a、b都垂直
③過a一定可以作一個平面與b垂直
④過a一定可以作一個平面與b平行
5.()如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,側棱PA垂直于底面,E、F分別是AB、PC的中點.
(1)求證:CD⊥PD;
(2)求證:EF∥平面PAD;
(3)當平面PCD與平面ABCD成多大角時,直線EF⊥平面PCD?
6.()如圖,在正三棱錐A-BCD中,∠BAC=30°,AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分別交AB、BD、DC、CA于點E、F、G、H.
(1)判定四邊形EFGH的形狀,并說明理由.
(2)設P是棱AD上的點,當AP為何值時,平面PBC⊥平面EFGH,請給出證明.
7.()如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都相等,D、E分別是CC1和AB1的中點,點F在BC上且滿足BF∶FC=1∶3.
(1)若M為AB中點,求證:BB1∥平面EFM;
(2)求證:EF⊥BC;
(3)求二面角A1-B1D-C1的大小.
8.()如圖,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB=
∠C1CD=∠BCD=60°,
(1)證明:C1C⊥BD;
(2)假定CD=2,CC1=,記面C1BD為α,面CBD為β,求二面角α-BD-β的平面角的余弦值;
(3)當的值為多少時,可使A1C⊥面C1BD?
難點26 垂直與平行 垂直與平行是高考的重點內容之一,考查內容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解線面平行與垂直、面面平行與垂直的判定與性質,并能利用它們解決一些問題. ●難點磁場 ()已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1=B1C1=2,D、D1分別是AB、A1B1的中點,平面A1ABB1⊥平面A1B1C1,異面直線AB1和C1B互相垂直. (1)求證:AB1⊥C1D1; (2)求證:AB1⊥面A1CD; (3)若AB1=3,求直線AC與平面A1CD所成的角. ●案例探究 [例參考答案
參考答案
難點磁場
1.(1)證明:∵A1C1=B1C1,D1是A1B1的中點,∴C1D1⊥A1B1于D1,
又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1,∴C1D1⊥平面A1B1BA,
而AB1平面A1ABB1,∴AB1⊥C1D1.
(2)證明:連結D1D,∵D是AB中點,∴DD1CC1,∴C1D1∥CD,由(1)得CD⊥AB1,又∵C1D1⊥平面A1ABB1,C1B⊥AB1,由三垂線定理得BD1⊥AB1,
又∵A1D∥D1B,∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D,∴AB1⊥平面A1CD.
(3)解:由(2)AB1⊥平面A1CD于O,連結CO1得∠ACO為直線AC與平面A1CD所成的角,∵AB1=3,AC=A1C1=2,∴AO=1,∴sinOCA=,
∴∠OCA=.
殲滅難點訓練
一、1.解析:如圖,設A1C1∩B1D1=O1,∵B1D1⊥A1O1,B1D1⊥AA1,∴B1D1⊥平面AA1O1,故平面AA1O1⊥AB1D1,交線為AO1,在面AA1O1內過A1作A1H⊥AO1于H,則易知A1H長即是點A1到平面AB1D1的距離,在Rt△A1O1A中,A1O1=,AO1=3,由A1O1.A1A=h.AO1,可得A1H=.
答案:C
2.解析:如圖,在l上任取一點P,過P分別在α、β內作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一點A,過A作AC⊥l,垂足為C,則AC⊥β,過C作CB⊥b′交b′于B,連AB,由三垂線定理知AB⊥b′,
∴△APB為直角三角形,故∠APB為銳角.
答案:C
二、3.解析:①是假命題,直線X、Y、Z位于正方體的三條共點棱時為反例,②③是真命題,④是假命題,平面X、Y、Z位于正方體的三個共點側面時為反例.
答案:②③
4.④
三、5.證明:(1)∵PA⊥底面ABCD,∴AD是PD在平面ABCD內的射影,
∵CD平面ABCD且CD⊥AD,∴CD⊥PD.
(2)取CD中點G,連EG、FG,
∵E、F分別是AB、PC的中點,∴EG∥AD,FG∥PD
∴平面EFG∥平面PAD,故EF∥平面PAD
(3)解:當平面PCD與平面ABCD成45°角時,直線EF⊥面PCD
證明:G為CD中點,則EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD,故∠EGF為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45°,從而得∠ADP=45°,AD=AP
由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE
又F是PC的中點,∴EF⊥PC,由CD⊥EG,CD⊥FG,得CD⊥平面EFG,CD⊥EF即EF⊥CD,故EF⊥平面PCD.
6.(1)證明:
同理EF∥FG,∴EFGH是平行四邊形
∵A-BCD是正三棱錐,∴A在底面上的射影O是△BCD的中心,
∴DO⊥BC,∴AD⊥BC,
∴HG⊥EH,四邊形EFGH是矩形.
(2)作CP⊥AD于P點,連結BP,∵AD⊥BC,∴AD⊥面BCP
∵HG∥AD,∴HG⊥面BCP,HG面EFGH.面BCP⊥面EFGH,
在Rt△APC中,∠CAP=30°,AC=a,∴AP=a.
7.(1)證明:連結EM、MF,∵M、E分別是正三棱柱的棱AB和AB1的中點,
∴BB1∥ME,又BB1平面EFM,∴BB1∥平面EFM.
(2)證明:取BC的中點N,連結AN由正三棱柱得:AN⊥BC,
又BF∶FC=1∶3,∴F是BN的中點,故MF∥AN,
∴MF⊥BC,而BC⊥BB1,BB1∥ME.
∴ME⊥BC,由于MF∩ME=M,∴BC⊥平面EFM,
又EF平面EFM,∴BC⊥EF.
(3)解:取B1C1的中點O,連結A1O知,A1O⊥面BCC1B1,由點O作B1D的垂線OQ,垂足為Q,連結A1Q,由三垂線定理,A1Q⊥B1D,故∠A1QD為二面角A1-B1D-C的平面角,易得∠A1QO=arctan.
8.(1)證明:連結A1C1、AC,AC和BD交于點O,連結C1O,
∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BC=CD
又∵∠BCC1=∠DCC1,C1C是公共邊,∴△C1BC≌△C1DC,∴C1B=C1D
∵DO=OB,∴C1O⊥BD,但AC⊥BD,AC∩C1O=O
∴BD⊥平面AC1,又C1C平面AC1,∴C1C⊥BD.
(2)解:由(1)知AC⊥BD,C1O⊥BD,∴∠C1OC是二面角α-BD-β的平面角.
在△C1BC中,BC=2,C1C=,∠BCC1=60°,∴C1B2=22+()2-2×2××cos60°=.
∵∠OCB=30°,∴OB=,BC=1,C1O=,即C1O=C1C.
作C1H⊥OC,垂足為H,則H是OC中點且OH=,∴cosC1OC=
(3)解:由(1)知BD⊥平面AC1,∵A1O平面AC1,∴BD⊥A1C,當=1時,平行六面體的六個面是全等的菱形,同理可證BC1⊥A1C,又∵BD∩BC1=B,∴A1C⊥平面C1BD.