Question

6．豎直放置的兩根表面光滑的平行金屬導(dǎo)軌，間距為d，導(dǎo)軌上端連接一阻值為R的定值電阻．兩導(dǎo)軌間存在著與導(dǎo)軌平面垂直且方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B．當(dāng)質(zhì)量為m₀的金屬棒ab從圖中位置由靜止釋放后，剛進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ即做勻速運(yùn)動(dòng)；若在金屬棒的中點(diǎn)掛上質(zhì)量為△_m的小沙桶，仍從圖示位置由靜止釋放金屬棒ab，棒匝磁場(chǎng)中某一位置可達(dá)到最大速度；若逐漸增大小沙桶的質(zhì)量，棒所達(dá)到的最大速度v_m隨之改變．已知重力加速度大小為g，區(qū)域Ⅱ足夠大，不計(jì)導(dǎo)軌和金屬棒ab的電阻，金屬棒一直與導(dǎo)軌垂直且接觸良好．
（1）金屬棒不掛沙桶時(shí)進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后做什么運(yùn)動(dòng)？（簡(jiǎn)述理由）
（2）求金屬棒ab釋放的位置與區(qū)域Ⅰ上邊界的距離h；
（3）寫出v_m和△_m的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 磁場(chǎng)Ⅰ和Ⅱ區(qū)雖然方向相反，但由于安培力阻礙相對(duì)運(yùn)動(dòng)，所以安培力的方向均豎直向上．雖然是兩個(gè)區(qū)域，但跟一個(gè)區(qū)區(qū)域無(wú)多大差別．
（1）根據(jù)左手定則：當(dāng)磁場(chǎng)和電流方向兩個(gè)都變化時(shí)，安培力的方向不變，所以仍有重力與安培力平衡．
（2）由于進(jìn)入Ⅰ區(qū)棒就勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以有重力與安培力平衡，將切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式、歐姆定律、安培力公式代入平衡條件就能求出離Ⅰ區(qū)上邊緣的距離．
（3）當(dāng)棒的質(zhì)量增加時(shí)，進(jìn)入Ⅰ區(qū)的速度不變，此刻重力大于安培力，做加速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)安培力也增加，當(dāng)兩者相等時(shí)最后勻速直線運(yùn)動(dòng)，據(jù)平衡條件就能求出函數(shù)式．

解答 解：（1）不掛小桶時(shí)，棒進(jìn)入Ⅱ區(qū)后仍然做勻速直線運(yùn)動(dòng)．因?yàn)楦袘?yīng)電流的安培力總是阻礙棒的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，在Ⅰ區(qū)勻減速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，安培力向上．進(jìn)入Ⅱ區(qū)雖然磁場(chǎng)方向改變，電流方向也改變，磁場(chǎng)與電流方向均變化，則安培力方向不變，由于速度大小不會(huì)突變，安培力大小也不變，所以在Ⅱ區(qū)仍平衡，做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（2）從釋放到進(jìn)入Ⅰ區(qū)由自由落體公式：$h=\frac{{v}^{2}}{2g}$  ①
    做勻速直線運(yùn)動(dòng)則有：mg=BId     ②
    而$I=\frac{E}{R}=\frac{Bdv}{R}$    ③
   聯(lián)立①②③得：$h=\frac{{m}^{2}{g}^{\;}{R}^{2}}{2{B}^{4}xibkd0o^{4}}$   
（3）當(dāng)在棒的中央掛上小桶時(shí)，它們進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域做加速度減小的加速速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)加速度減小為零時(shí)，速度達(dá)到最大，則有
    $（m+△m）g=B•\frac{Bd{v}_{m}}{R}d$         ④
所以：${v}_{m}=\frac{（m+△m）gR}{{B}^{2}ml0n3mp^{2}}$
答：（1）金屬棒不掛沙桶時(shí)進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（2）求金屬棒ab釋放的位置與區(qū)域Ⅰ上邊界的距離為$\frac{{m}^{2}g{R}^{2}}{2{B}^{4}te7q8x3^{4}}$．
（3）v_m和△_m的函數(shù)關(guān)系式為${v}_{m}=\frac{（m+△m）gR}{{B}^{2}1jqvf58^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 方向相反的兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域是一個(gè)陷阱，棒進(jìn)入Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)區(qū)域安培力方向不變，這是本題的關(guān)鍵．由題設(shè)條件，加小桶與否都有一個(gè)平衡，由平衡條件就能求出相應(yīng)的物理量或函數(shù)式．