Question

設關于x的函數f（x）=mx²-（2m²+4m+1）x+（m+2）lnx，其中m為R上的常數，若函數f（x）在x=1處取得極大值0．
（1）求實數m的值；
（2）若函數f（x）的圖象與直線y=k有兩個交點，求實數k的取值范圍；
（3）設函數，若對任意的x∈[1，2]，2f（x）≥g（x）+4x-2x²恒成立，求實數p的取值范圍．

Answer 1

解：（1）=
因為函數f（x）在x=1處取得極大值0
所以，解m=-1
（2）由（1）知，令f'（x）=0得x=1或（舍去）
所以函數f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減，
所以，當x=1時，函數f（x）取得最大值，f（1）=ln1-1+1=0
當x≠1時，f（x）＜f（1），即f（x）＜0
所以，當k＜0時，函數f（x）的圖象與直線y=k有兩個交點，
（3）設
當p=0時，，F（x）在[1，2]遞增，F（1）=-2＜0不成立，（舍）
當p≠0時
當，即-1＜p＜0時，F（x）在[1，2]遞增，F（1）=-2p-2＜0，不成立
當，即p＜-1時，F（x）在[1，2]遞增，所以F（1）=-2p-2≥0，解得p≤-1，所以，此時p＜-1
當p=-1時，F（x）在[1，2]遞增，成立；
當p＞0時，F（1）=-2p-2＜0不成立，
綜上，p≤-1
分析：（1）先求導函數，利用函數f（x）在x=1處取得極大值0，可得，從而可求實數m的值；
（2）由（1）知，可知函數在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，從而當x=1時，函數f（x）取得最大值，進而可知f（x）＜0，從而得當k＜0時，函數f（x）的圖象與直線y=k有兩個交點，
（3）構造函數，對p討論：p=0與p≠0即可得出結論．
點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查利用導數求函數的極值，同時考查利用導數求函數的單調性，有一定的難度．