Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)對(duì)稱軸是直線．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）連接是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)正好落在上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)交線段于點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

①連接，若與相似，請(qǐng)直接寫出的值；

②能否為等腰三角形．若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①t=1；②能；秒或秒

【解析】

（1）點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，AB=4，由對(duì)稱性質(zhì)知A（-3，0），B（1，0），將A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式組成方程組求解即可；
（2）先求出AC直線解析式，再將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入直線AC的表達(dá)式，即可求解；
（3）①當(dāng)△BOC與△AMN相似，＝3或，即=3或，即可求解；②分AO=AQ、QO=AQ、AO=OQ三種情況，分別求解即可．

解:點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，

代入中，得:

解得

拋物線的解析式為

點(diǎn)坐標(biāo)為；

如圖，連接

設(shè)直線的解析式為

則有:

解得

直線的解析式為

點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，

又點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離為，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

將代入中，

得:

；

（3）①t秒時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2t，0），則點(diǎn)Q（-2t，2t-3），
點(diǎn)N[-2t，（-2t）2+2×（-2t）-3]，即（-2t，4t2-4t-3），
則MN=-4t2+4t+3，AM=3-2t，

∵△BOC與△AMN相似，
∴＝3或

即=3或，
解得：t=或1或-（舍去和-），
故t=1；

軸，

若為等腰三角形，分三種情況討論，

第一種情況，當(dāng)時(shí)，

可由定理證得

中，，

易得

第二種情況，當(dāng)時(shí)，

在中，

即

第三種情況，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)重合，

此時(shí)

而故不符合題意，

綜上所述，當(dāng)秒或秒時(shí)，為等腰三角形.