Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦DC交AB于E，過C作⊙O的切線交DB的延長線于M，若AB=4，∠ADC=45°，∠M=75°，則CD的長為

1. A.
   
2. B.
   2
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：連接OC，過O作OF⊥CD，利用垂徑定理得到F為CD的中點(diǎn)，根據(jù)CM為圓O的切線，得到CM垂直于OC，由同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍求出∠AOC為直角，再利用圓周角定理求出∠CDM的度數(shù)，根據(jù)∠M的度數(shù)求出∠DCM的度數(shù)，進(jìn)而求出∠COF的度數(shù)，利用銳角三角函數(shù)定義求出CF的長，根據(jù)CD=2CF即可求出CD的長．
解答：解：連接OC，過O作OF⊥CD，利用垂徑定理得到F為CD的中點(diǎn)，
∵CM為圓O的切線，
∴∠OCM=90°，
∵∠ADC與∠AOC都對，
∴∠AOC=2∠ADC=90°，
∴∠CDM=∠BOC=45°，
∵∠M=75°，
∴∠DCM=60°，
∴∠OCF=30°，
在Rt△OCF中，OC=2，
∴CF=OC•cos∠OCF=，
則CD=2CF=2．
故選D．
點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．