Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E．F分別是BC．AD的中點，連接EF并延長，分別與BA，CD的延長線交于點M，N，則∠BME=∠CNE（不必證明）
（溫馨提示：在圖（1）中，連接BD，取BD的中點H，連接HE．HF，根據三角形中位線定理，證明HE=HF，從而∠1=∠2，再利用平行線的性質，可證明∠BME=∠CNE）
（1）如圖（2），在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點O，AB=CD，E．F分別是BC．AD的中點，連接EF，分別交CD．BA于點M．N，判斷△OMN的形狀，請直接寫出結論．
（2）如圖（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D點在AC上，AB=CD，E．F分別是BC．AD的中點，連接EF并延長，與BA的延長線交于點G，若∠EFC=60°，連接GD，判斷△AGD形狀并證明．

Answer 1

解：（1）取AC中點P，連接PF，PE，
可知PE=，
PE∥AB，
∴∠PEF=∠ANF，
同理PF=，
PF∥CD，
∴∠PFE=∠CME，
又PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF，
∴∠OMN=∠ONM，
∴△OMN為等腰三角形．

（2）判斷出△AGD是直角三角形．
證明：如圖連接BD，取BD的中點H，連接HF、HE，
∵F是AD的中點，
∴HF∥AB，HF=AB，
同理，HE∥CD，HE=CD，
∵AB=CD
∴HF=HE，
∵∠EFC=60°，
∴∠HEF=60°，
∴∠HEF=∠HFE=60°，
∴△EHF是等邊三角形，
∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，
∴△AGF是等邊三角形．
∵AF=FD，
∴GF=FD，
∴∠FGD=∠FDG=30°
∴∠AGD=90°
即△AGD是直角三角形．
分析：（1）作出兩條中位線，根據中位線定理，找到相等的同位角和線段，進而判斷出三角形的形狀．
（2）利用平行線和中位線定理，可以證得三角形△FAG是等邊三角形，再進一步確定∠FGD=∠FDG=30°，進而求出∠AGD=90°，故△AGD的形狀可證．
點評：本題考查了三角形的中位線定理，解答此題的關鍵是作出三條輔助線，構造出和中位線定理相關的圖形．此題結構精巧，考查范圍廣，綜合性強．