Question

19、如圖，以△ABC三邊為邊在BC同側作三個等邊△ABD、△BCE、△ACF．
請回答下列問題：
（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形．

Answer 1

分析：1、本題可根據三角形全等證得DE=AF，AD=EF，即可知四邊形ADEF是平行四邊形
2、要使四邊形ADEF是矩形，必須讓∠FAD=90°，則∠BAC=360°-90°-60°-60°=150°

解答：證明：（1）∵等邊△ABD、△BCE、△ACF，
∴DB=AB，BE=BC．
又∠DBE=60°-∠EBA，
∠ABC=60°-∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC．
∴△DBE≌△CBA．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴AF=DE．
同理可證：△ABC≌△FCE，證得EF=AD．
∴四邊形ADEF是平行四邊形．

（2）∵四邊形ADEF是矩形，
∴∠DAF=90°．
又∵等邊△ABD、△BCE、△ACF，
∴∠DAB=∠FAC=60°．
∴∠BAC=360-∠DAF-∠FAC-∠DAB=150°．
當△ABC滿足∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形．

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質和平行四邊形的判定．