Question

如圖，已知△ABC中，∠B=90 º，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．

（1）出發(fā)2秒后，求PQ的長；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘，△PQB能形成等腰三角形？

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間（只要直接寫出答案）．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）5.5或6或6.6s

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；

（2）設(shè)出發(fā)t秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形，則BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t即可；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有三種情況：

①當(dāng)CQ=BQ時(shí)（圖1），則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；

②當(dāng)CQ=BC時(shí)（如圖2），則BC+CQ=12，易求得t；

③當(dāng)BC=BQ時(shí)（如圖3），過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，則求出BE，CE，即可得出t．

試題解析：（1）BQ=2×2=4cm，

BP=AB-AP=8-2×1=6cm，

∵∠B=90°，

∴；

（2）由BQ=2t，BP=8-t可得2t=8-t，解得；

（3）①當(dāng)CQ=BQ時(shí)（圖1），則∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，

∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ，

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5，

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5秒；

②當(dāng)CQ=BC時(shí)（如圖2），則BC+CQ=12

∴t=12÷2=6秒；

③當(dāng)BC=BQ時(shí)（如圖3），過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E，

則，

所以，

故CQ=2CE=7.2，

所以BC+CQ=13.2，

∴t=13.2÷2=6.6秒

由上可知，當(dāng)t為5.5秒或6秒或6.6秒時(shí)，△BCQ為等腰三角形．

考點(diǎn)：1.勾股定理；2.三角形的面積公式；3.等腰三角形的判定和性質(zhì)