Question

如圖，已知CD為⊙O的直徑，點A為DC延長線上一點，B為⊙O上一點，且∠ABC=∠D．
（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）若tanD=，求sinA的值．

Answer 1

（1）證明：連結(jié)OB，如圖，
∵CD為⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，即∠OBD+∠OBC=90°
∵OB=OD，
∴∠D=∠OBD，
∵∠ABC=∠D，
∴∠ABC=∠OBD，
∴∠OBA=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB為⊙O的切線；

（2）解：設(shè)BC=x，
在Rt△BCD中，tanD==，
∴BD=2x，
∴CD==x，
∴OB=OC=x，
∵∠ABC=∠D，∠BAC=∠DAB，
∴△ABC∽△ADB，
∴==，
∴AB=2AC，
在Rt△OAB中，∵OB²+AB²=AO²，
∴（x）²+（2AC）²=（x+AC）²，
∴AC=x，
∴OA=x+x=x，
∴sinA===．
分析：（1）連結(jié)OB，根據(jù)圓周角定理得到∠BDC=90°，即∠OBD+∠OBC=90°，而∠D=∠OBD，∠ABC=∠D，則∠ABC=∠OBD，所以∠OBA=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；
（2）設(shè)BC=x，利用正切的定義得到BD=2x，根據(jù)勾股定理得到CD=x，則OB=OC=x，易證得△ABC∽△ADB，利用相似比可得AB=2AC，在Rt△OAB中，根據(jù)勾股定理得到AC=x，然后根據(jù)正弦的定義求解．
點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理、勾股定理以及銳角三角函數(shù)．