Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（-2，0）、B（0，1）兩點(diǎn)，且對稱軸是y軸．經(jīng)過點(diǎn)C（0，2）的直線l與x軸平行，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上的兩動點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）以點(diǎn)P為圓心，PO為半徑的圓記為⊙P，判斷直線l與⊙P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)線段PQ=9，G是PQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)G到直線l距離的最小值．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是y軸，
∴b=0，
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0）、B（0，1）兩點(diǎn)，
∴c=1，a=-，
∴所求拋物線的解析式為y=-x²+1；

（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（p，-p²+1），
如圖，過點(diǎn)P作PH⊥l，垂足為H，
∵PH=2-（-p²+1）=p²+1，
OP==p²+1，
∴OP=PH，
∴直線l與以點(diǎn)P為圓心，PO長為半徑的圓相切；

（3）如圖，分別過點(diǎn)P、Q、G作l的垂線，垂足分別是D、E、F．連接EG并延長交DP的延長線于點(diǎn)K，
∵G是PQ的中點(diǎn)，
∴易證得△EQG≌△KPG，
∴EQ=PK，
由（2）知拋物線y=-x²+1上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離等于該點(diǎn)到直線l：y=2的距離，
即EQ=OQ，DP=OP，
∴FG=DK=（DP+PK）=（DP+EQ）=（OP+OQ），
∴只有當(dāng)點(diǎn)P、Q、O三點(diǎn)共線時，線段PQ的中點(diǎn)G到直線l的距離GF最小，
∵PQ=9，
∴GF≥4.5，即點(diǎn)G到直線l距離的最小值是4.5．
分析：（1）由拋物線的對稱軸為y軸可得：b=0，再把A（-2，0）、B（0，1）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入函數(shù)的解析式求出a、c即可；
（2）因?yàn)镻在拋物線上，所以設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（p，-p²+1）如圖，過點(diǎn)P作PH⊥l，垂足為H，根據(jù)圓心到直線的距離和圓的半徑之間的大小關(guān)系可判斷直線l與⊙P的位置關(guān)系；
（3）圖，分別過點(diǎn)P、Q、G作l的垂線，垂足分別是D、E、F．連接EG并延長交DP的延長線于點(diǎn)K，易證得△EQG≌△KPG，由（2）知拋物線y=-x²+1上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離等于該點(diǎn)到直線l：y=2的距離，即EQ=OQ，DP=OP，所以只有當(dāng)點(diǎn)P、Q、O三點(diǎn)共線時，線段PQ的中點(diǎn)G到直線l的距離GF最小，進(jìn)而求出點(diǎn)G到直線l距離的最小值．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、直線與圓的位置關(guān)系、全等三角形等知識，軸對稱-最短路線問題，對學(xué)生的能力要求極高，難度很大．