Question

（2008•寶山區(qū)二模）已知∠AOB=45°，P是邊OA上一點，OP=4

2

，以點P為圓心畫圓，圓P交OA于點C（點P在O、C之間，如圖）．點Q是直線OB上的一個動點，連PQ，交圓P于點D，已知，當OQ=7時，

PD

DQ

=

2

3

．
（1）求圓P半徑長；
（2）當點Q在射線OB上運動時，以點Q為圓心，OQ為半徑作圓Q，若圓Q與圓P相切，試求OQ的長度；
（3）連CD并延長交直線OB于點E，是否存在這樣的點Q，使得以O、C、E為頂點的三角形與△OPQ相似？若存在，試確定Q點的位置；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先過點P作PG⊥OB，垂足為G，由∠AOB=45°，OP=4

2

，根據(jù)勾股定理，即求得PG與OG的值，又由OQ=7，

PD

DQ

=

2

3

，即可求得PD的長；
（2）首先設OQ=x，根據(jù)勾股定理可得PQ=

x2-8x+32

，然后分別從⊙P與⊙Q外切或外切去分析求解即可求得答案；
（3）首先易得∠POQ=∠COE，∠OPQ=2∠OCE≠∠OCE，可得要使△OPQ與△OCE相似，只可能∠OQP=∠OCE，然后分別從當點Q在射線OB上時與當點Q在射線OB的反向延長線上時去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）過點P作PG⊥OB，垂足為G，
∵∠AOB=45°，OP=4

2

，
∴PG=OG=4．  …（1分）
又∵OQ=7，
∴GQ=3． 
從而PQ=5，…（1分）
∵

PD

DQ

=

2

3

，
∴PD=2，
即⊙的半徑長為2．…（1分）

（2）設OQ=x，則PQ=

(x-4)2+42

=

x2-8x+32

．    （1分）
當⊙P與⊙Q外切時，
PQ=OQ+2，即

x2-8x+32

=x+2，…（1分）
解得：x=

7

3

．經檢驗是方程的根，且符合題意，…（1分）
當⊙P與⊙Q 內切時，
PQ=OQ-2，即

x2-8x+32

=x-2，…（1分）
解得：x=7．經檢驗是方程的根，且符合題意，…（1分）
所以，當OQ的長度為 

7

3

或7時，⊙P與⊙Q相切．

（3）∵∠POQ=∠COE，
∵PC=PD，
∴∠PDC=∠PCD，從而∠OPQ=2∠OCE≠∠OCE，
∴要使△OPQ與△OCE相似，只可能∠OQP=∠OCE，…（1分）
當點Q在射線OB上時，
∠OQP=45°，∠OPQ=90°．
∴OQ=8．…（2分）
當點Q在射線OB的反向延長線上時，
∠OQP=15°，∠OPQ=30°．
過點Q作QH⊥OP，垂足為H，
則 PH=

3

QH，
設 QH=t，則t+4

2

=

3

t，
解得：t=2

6

+2

2

，
∴OQ=

2

t=4

3

+4．…（2分）
綜上，點Q在射線OB上，且OQ=8時，以O、C、E為頂點的三角形與△OPQ相似；或者點Q在射線OB的反向延長線上，且OQ=4

3

+4時，以O、C、E為頂點的三角形與△OPQ相似．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理、圓與圓的位置關系等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵注意方程思想與數(shù)形結合思想的應用．