Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，弦CE交AB于點D．連接OE、AC，已知∠POE=2∠CAB，∠P=∠E．
（1）求證：CE⊥AB；
（2）求證：PC是⊙O的切線；
（3）若BD=20D，PB=9，求⊙O的半徑及tan∠P的值．

Answer 1

（1）證明：連接OC，
∴∠COB=2∠CAB，
又∠POE=2∠CAB．
∴∠COD=∠EOD，
又∵OC=OE，
∴∠ODC=∠ODE=90°，
即CE⊥AB；

（2）證明：∵CE⊥AB，∠P=∠E，
∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，
又∠OCD=∠E，
∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切線；

（3）解：設(shè)⊙O的半徑為r，OD=x，則BD=2x，r=3x，
∵CD⊥OP，OC⊥PC，
∴Rt△OCD∽Rt△OPC，
∴OC²=OD•OP，即（3x）²=x•（3x+9），
解之得x=，
∴⊙O的半徑r=，
同理可得PC²=PD•PO=（PB+BD）•（PB+OB）=162，
∴PC=9，
在Rt△OCP中，tan∠P==．
分析：（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠COB=2∠CAB，又∠POE=2∠CAB，則∠COD=∠EOD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠ODC=∠ODE=90°，即CE⊥AB；
（2）由CE⊥AB，∠P=∠E，得到∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，得到∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)⊙O的半徑為r，OD=x，則BD=2x，r=3x，易證得Rt△OCD∽Rt△OPC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得OC²=OD•OP，即（3x）²=x•（3x+9），解出x，即可得圓的半徑；
同理可得PC²=PD•PO=（PB+BD）•（PB+OB）=162，可計算出PC，然后在Rt△OCP中，根據(jù)正切的定義即可得到tan∠P的值．
點評：本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了圓周角定理和三角形相似的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義．