Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C₁：y=-mx²+2mx+4（m≠0）與拋物線C₂：y=x²-2x，
（1）拋物線C₁與y軸交于點(diǎn)A，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)B．求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）若拋物線C₁在-2＜x＜-1這一段位于C₂下方，并且拋物線C₁在1＜x＜3這一段位于C₂上方，求拋物線C₁的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：計(jì)算題

分析：（1）對(duì)于y=-mx²+2mx+4，求自變量為0時(shí)的函數(shù)值即可得到A點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線C₁的對(duì)稱軸即可得到B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先求拋物線C₂：y=x²-2x的對(duì)稱軸得到拋物線C₁和拋物線C₂的對(duì)稱軸都是直線x=1，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，當(dāng)拋物線C₁在-2＜x＜-1這一段位于C₂下方，則拋物線C₁在3＜x＜4這一段位于C₂下方，加上拋物線C₁在1＜x＜3這一段位于C₂上方，于是得到兩條拋物線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=3，利用y=x²-2x可確定交點(diǎn)坐標(biāo)，然后把交點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-mx²+2mx+4中求出m即可．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=-mx²+2mx+4=4，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），
拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

2m

2×(-m)

=1，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；
（2）拋物線C₂：y=x²-2x的對(duì)稱軸為直線x=-

-2

2×1

=1，
則拋物線C₁和拋物線C₂的對(duì)稱軸都是直線x=1，
由于拋物線C₁在-2＜x＜-1這一段位于C₂下方，則拋物線C₁在3＜x＜4這一段位于C₂下方，
而拋物線C₁在1＜x＜3這一段位于C₂上方，
所以兩條拋物線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=3，
當(dāng)x=3時(shí)，y=x²-2x9-2×3=3，即兩拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），
把（3，3）代入y=-mx²+2mx+4得-9m+6m+4=3，解得m=

1

3

，
所以拋物線C₁的解析式y(tǒng)=-

1

3

x²+

2

3

x+4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對(duì)稱軸直線x=-

b

2a

，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減小；x＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減小；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．