Question

在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）用含t的代數(shù)式表示線段BP和BQ；
（2）幾秒鐘后△PBQ的面積等于8cm²？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△ABC與△PBQ相似？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間即可用含t的代數(shù)式表示線段BP和BQ；
（2）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，使△PBQ的面積為8cm²，由（1）得到BP=6-x，BQ=2x，根據(jù)三角形的面積公式得出方程

1

2

×（6-x）×2x=8，求出即可；
（3）設(shè)經(jīng)過a秒鐘，使△PBQ與△ABC相似，根據(jù)兩邊成比例并且夾角相等的兩三角形相似得到第一種情況

BP

AB

=

BQ

BC

和第二種情況

BP

BC

=

BQ

AB

代入求出即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，
∴AP=t，BQ=2t，
∴BP=AB-AP=6-t；

（2）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，使△PBQ的面積為8cm²，
BP=6-x，BQ=2x，
∵∠B=90°，
∴

1

2

BP×BQ=8，
∴

1

2

×（6-x）×2x=8，
∴x₁=2，x₂=4，
答：如果點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過2或4秒鐘，使△PBQ的面積為8cm²．

（3）設(shè)經(jīng)過a秒鐘，使△PBQ與△ABC相似，
∵∠B=∠B，
第一種情況：當(dāng)時(shí)

BP

AB

=

BQ

BC

，△PBQ與△ABC相似，
即

6-a

6

=

2a

12

，
解得：a=3，
第二種情況：當(dāng)

BP

BC

=

BQ

AB

時(shí)，△PBQ與△ABC相似，
即

6-a

12

=

2a

6

，
解得：a=1.2．
答：如果點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過3或1.2秒鐘，使△PBQ與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)解一元一次方程，解一元二次方程，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵．