Question

如圖，已知△ABC中，∠ABC=90°，以CB為直徑的⊙O交CA于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作AB的平行線交CB于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，若⊙O的半徑為5，EG=8．
（1）求BF的長；
（2）若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接DE．
①證明：DE是⊙O的切線；
②求直角梯形BDEF的腰（DE）長．

Answer 1

（1）解：連接OE．
∵EG∥AB，∠ABC=90°，EG=8，
∴OF⊥EG
∴EF=FG=4
在Rt△OEF中由勾股定理得==3，
∴BF=OB-OF=5-3=2

（2）①證明：∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BEC=∠AEB=90°，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴ED=BD，
∴∠DEB=∠DBE，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE，
∵∠OED=∠OEB+∠DEB=∠DBE+∠OBE=∠DBC=90°，
∴DE是⊙O的切線；
②解：過點(diǎn)D作DH⊥EG于H，設(shè)DE=x，
∵∠ABC=90°，
∴AB是⊙O的切線，
由①知DE是⊙O的切線，
∴BD=DE=x，矩形HDBF中有HF=BD=x，
∴EH=4-x，
在Rt△DEH中，∠DHE=90°，由勾股定理得DE²=EH²+DH²，
∴x²=（4-x）²+2²，
解得，即DE的長為．
分析：（1）連接OE，由于EG∥AB，∠ABC=90°，EG=8，易證OF⊥EG，再利用垂徑定理可知EF=FG；在Rt△OEF中利用勾股定理可求OF，即可求BF；
（2）①由于BC是直徑，那么∠BEC=∠AEB=90°，而D是AB中點(diǎn)，則DE=DB，于是∠DEB=∠DBE，同理OB=OD，也有∠OEB=∠OBE；由于∠ABC=∠DBE+∠OBE=90°，所以有∠DEB+∠OEB=90°，即DE是⊙O的切線；
②過點(diǎn)D作DH⊥EG于H，易證四邊形HDBF是矩形，設(shè)DE=x，由于∠ABC=90°，則AB是⊙O的切線；由①知DE是⊙O的切線，于是可得BD=DE=x，矩形HDBF中有HF=BD=x；在Rt△DEH中，利用勾股定理可得關(guān)于x的一元二次方程，解即可求DE．
點(diǎn)評：本題利用了垂徑定理、勾股定理、切線的判定、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、直徑所對的圓周角等于90°、矩形的判定和性質(zhì)．