Question

如圖，四邊形ABDM中，AB=BD，AB⊥BD，∠AMD=60°，以AB為邊作等邊△ABC，BE平分∠ABD交CD于E，連ME；下列結(jié)論：
①∠BEC=60°；②MA+MD=

3

ME；③若BD=

6

，則EC=

3

-1．
其中正確的結(jié)論（　�。�

A．只有①②

B．只有②③

C．只有①③

D．①②③

Answer 1

分析：先由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC，∠ABC=60°，則△DBC是頂角為150°的等腰三角形，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠BDC=15°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠BEC=∠BDE+∠DBE=60°，判斷結(jié)論①正確；
連接AE，延長MA至F，使FA=DM，連接EF．易證△BDE≌△BAE，得出DE=AE，再利用SAS證明△EDM≌△EAF，得出EM=EF，∠DEM=∠AEF，則∠DEA=∠MEF=120°，在△MEF中，求出∠F=∠EMF=30°．過點(diǎn)E作EG⊥MF于點(diǎn)G，在Rt△GEM中，根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出MF=

3

ME，進(jìn)而得到MA+MD=

3

ME，判斷結(jié)論②正確；
③連接AD，延長BE，交AD于點(diǎn)H．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出DH=AH=BH=

1

2

AD=

3

，再求出∠EDH=30°，解Rt△DEH，得到DE=2，在△DBC中由余弦定理求出CD=3+

3

，則CE=CD-DE=

3

+1，判斷結(jié)論③錯誤．

解答：解：①∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵AB=BD，∠ABD=90°，
∴BC=BD，∠DBC=∠ABD+∠ABC=150°，
∴∠BDC=∠BCD=

180°-∠DBC

2

=15°，
又∵BE平分∠ABD，
∴∠DBE=

1

2

∠ABD=45°，
∴∠BEC=∠BDE+∠DBE=15°+45°=60°，
故結(jié)論正確；

②連接AE，延長MA至F，使FA=DM，連接EF．
在△BDE與△BAE中，

BD=BA ∠DBE=∠ABE BE=BE

，
∴△BDE≌△BAE，
∴DE=AE，∠BED=∠BEA=180°-∠BEC=120°，
∴∠AED=360°-∠BED-∠BEA=120°．
∴∠AED+∠AMD=120°+60°=180°，
∴∠EAM+∠EDM=180°，
又∠EAM+∠EAF=180°，
∴∠EDM=∠EAF．
在△EDM與△EAF中，

DM=AF ∠EDM=∠EAF DE=AE

，
∴△EDM≌△EAF（SAS），
∴EM=EF，∠DEM=∠AEF，
∴∠DEM+∠AEM=∠AEF+∠AEM，即∠DEA=∠MEF=120°．
在△MEF中，∵∠MEF=120°，EM=EF，
∴∠F=∠EMF=30°．
過點(diǎn)E作EG⊥MF于點(diǎn)G，則MG=FG=

1

2

MF．
在△GEM中，∵∠EGM=90°，
∴cos∠EMG=

MG

ME

=

1 2 MF

ME

=

3

2

，
∴MF=

3

ME，
∵M(jìn)F=MA+AF，AF=MD，
∴MA+MD=

3

ME，
故結(jié)論正確；

③連接AD，延長BE，交AD于點(diǎn)H．
∵AB=BD=

6

，BE平分∠ABD，AB⊥BD，
∴DH=AH=BH=

1

2

AD=

1

2

×

2

BD=

3

，∠BDH=45°，BH⊥AD，
由①知∠BDC=15°，
∴∠EDH=∠BDH-∠BDE=30°．
在Rt△DEH中，∵∠EHD=90°，∠EDH=30°，DH=

3

，
∴DE=

DH

cos30°

=2，
∵CD=

BD2+BC2-2BD•BC•cos150°

=

6+6-2× 6 × 6 ×(- 3 2 )

=3+

3

，
∴CE=CD-DE=3+

3

-2=

3

+1，
故結(jié)論錯誤．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義，余弦定理，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．