Question

能使2ⁿ+256是完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值為

11

．

Answer 1

分析：由于n的取值范圍不能確定，故應(yīng)分n≤8和n＞8兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)n≤8時(shí)原式可化為2ⁿ+256=2ⁿ（1+2^8-n），若它是完全平方數(shù)，則n必為偶數(shù)，再分別把n≤8的所有偶數(shù)代入進(jìn)行驗(yàn)證；當(dāng)n＞8時(shí)，原式可化為2ⁿ+256=2⁸（2^n-8+1），若它是完全平方數(shù)，則2^n-8+1為一奇數(shù)的平方，再根據(jù)奇數(shù)的定義即可求出k的值．

解答：解：當(dāng)n≤8時(shí)，2ⁿ+256=2ⁿ（1+2^8-n），若它是完全平方數(shù)，則n必為偶數(shù)．
若n=2，則2ⁿ+256=2²×65；
若n=4，則2ⁿ+256=2⁴×17；
若n=6，則2ⁿ+256=2⁶×5；
若n=8，則2ⁿ+256=2⁸×2．
所以，當(dāng)n≤8時(shí)，2ⁿ+256都不是完全平方數(shù)．
當(dāng)n＞8時(shí)，2ⁿ+256=2⁸（2^n-8+1），若它是完全平方數(shù)，則2^n-8+1為一奇數(shù)的平方．
設(shè)2^n-8+1=（2k+1）²（k為自然數(shù)），則2^n-10=k（k+1）．
由于k和k+1一奇一偶，
且是2的n-10次方，符合要求的只有1×2，
所以k=1，于是2^n-10=2，
故n=11．
故答案為：11．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是完全平方數(shù)及奇數(shù)與偶數(shù)，解答此題時(shí)要注意分n≤8和n＞8兩種情況進(jìn)行討論，此題難度較大．