Question

如圖，點P是直線y=

x

2

+2與雙曲線y=

k

x

在第一象限內(nèi)的一個交點，直線y=

x

2

+2與x軸、y軸的交點分別為A、C，過P作PB垂直于x軸，若AB+PB=9．
（1）求k的值；  
（2）求△PBC的面積；
（3）在雙曲線上是否存在一點G，使得△ABG的面積等于△PBC的面積？若存在，求出點G的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)直線方程求出A與C坐標，確定出OA與OC的長，由CO，PB都與x軸垂直，得到CO與PB平行，得到三角形ACO與三角形APB相似，由相似得比例，設PB=x，得到AB=9-x，根據(jù)比例式列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，求出PB與OB的長，進而確定出P坐標，代入反比例解析式即可求出k的值；
（2）三角形PBC面積=三角形APB面積-三角形ABC面積，求出即可；
（3）假設存在一點G，使得△ABG的面積等于△PBC的面積，設G（a，

6

a

），列出關于a的方程，求出方程的解確定出G坐標．

解答：解：（1）對于直線y=

x

2

+2，
令x=0，得到y(tǒng)=2，即C（0，2），OC=2；令y=0，得到x=-4，即A（-4，0），OA=4，
∵CO⊥x軸，PB⊥x軸，
∴CO∥PB，
∴△ACO∽△APB，
∴

CO

PB

=

OA

AB

，
∵AB+PB=9，
∴設PB=x，則有AB=9-x，
代入比例式得：

2

x

=

4

9-x

，即18-2x=4x，
解得：x=3，
∴PB=3，AB=9-3=6，即OB=AB-OA=6-4=2，
∴P（2，3），
將P（2，3）代入反比例解析式得：k=6；

（2）S_△PBC=S_△APB-S_△ABC=

1

2

PB•AB-

1

2

AB•OC=9-6=3；

（3）假設存在一點G，使得△ABG的面積等于△PBC的面積，
設G（a，

6

a

），則有

1

2

AB•|

6

a

|=

18

|a|

=3，即|a|=6，
解得：a=6或a=-6，
∴這樣的G點存在，坐標為（6，1）或（-6，-1）．

點評：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標軸的交點，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．