Question

如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，點E、F分別在AB、DC上，AE＝DF＝2．現(xiàn)把一塊直徑為2的量角器(圓心為O)放置在圖形上，使其線MN與EF重合；若將量角器線上的端點N固定在點F上，再把量角器繞點F順時針方向旋轉∠α(＜α＜)，此時量角器的半圓弧與EF相交于點P，設點P處量角器的讀數(shù)為．

(1)用含的代數(shù)式表示∠α的大��；

(2)當等于多少時，線段PC與平行？

(3)在量角器的旋轉過程中，過點作GH⊥，交AE于點G，交AD于點H．設GE＝x，△AGH的面積為S．試求出S關于x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)連結，則∠PF＝．∵＝，∴∠PF＝∠FP＝∠α．∴＋2∠α＝　即∠α＝－； 　　(2)連結P，∵F是半圓的直徑，∴P⊥PF．又∵FC⊥PF，∴FC∥P．若PC∥F，四邊形PCF是平行四邊形．∴PC＝F＝2FC，∠α＝∠CPF＝．代入(1)中關系式得：＝－，即＝； 　　(3)以點F為圓心，F(xiàn)E的長為半徑畫．∵G⊥F于點M．∴GH是的切線．同理GE、HD也都是的切線，∴GE＝G，H＝HD．(另法：連結GF，證得Rt△GEF≌Rt△GF，得EG＝G，同理可證H＝HD．)設GE＝x，則AG＝2－x，再設DH＝y(tǒng)，則H＝y(tǒng)，AH＝2－y，在Rt△AGH中，AG2＋AH2＝GH2，得：(2－x)2＋(2－y)2＝(x＋y)2．即：4－4x＋x2＋4－4y＋y2＝x2＋2xy＋y2　∴y＝，S＝AG·AH＝(2－x)(2－y)＝，自變量x的取值范圍為0＜x＜2．S與x的函數(shù)關系式為S＝(0＜x＜2)．