Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC邊的中點，過點B作BF⊥AB交AD的延長線于點F，CE平分∠ACB交AD于點E．

（1）判斷四邊形CEBF的形狀，并證明；

（2）若AD=，求BF及四邊形CEBF的面積．

Answer 1

【答案】（1）四邊形CEBF是平行四邊形，證明見解析；（2），四邊形CEBF的面積=12．

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質、垂直的定義和角平分線的定義可得∠DCE＝∠CBF，而可根據ASA證明△CDE≌△BDF，于是可得DE＝DF，進一步即可得出結論；

（2）設CD=x，則AC=BC=2x，然后在Rt△ACD中，由勾股定理可求出x，從而可得AC、AB的長，由等腰三角形的性質可得CE垂直平分AB，進而可得AE=BE，然后根據等腰三角形的性質和判定以及余角的性質可得AE=EF，于是可得AD=3DE，AF=4DE，而AD已知，則DE和AF可得，于是可在直角△AFB中根據勾股定理求出BF，過點C作CG⊥DE于點G，如圖，則由三角形的面積可求出CG的長，于是可得△CDE的面積，而所求的四邊形CEBF的面積是△CDE面積的4倍，問題即得解決．

（1）四邊形CEBF是平行四邊形．

證明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠ABC＝45°，

∵FB⊥AB，

∴∠ABF＝90°，

∴∠CBF＝45°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠DCE＝45°＝∠CBF，

又∵DC=DB，∠CDE=∠BDF，

∴△CDE≌△BDF（ASA），

∴DE＝DF，

∵DC=DB，

∴四邊形CEBF是平行四邊形；

（2）解：設CD=x，則AC=BC=2x，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：，

解得：x=3，

∴CD=3，AC=BC=6，

∴，

∵AC=BC，CE平分∠ACB，

∴CE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴∠BAE=∠ABE，

∵∠BAE+∠AFB=90°，∠ABE+∠FBE=90°，

∴∠AFB=∠FBE，

∴EF=BE，

∴AE=EF，

∵EF=2DE，

∴AD=3DE，AF=4DE，

∴，

∴，

∴，

過點C作CG⊥DE于點G，如圖，則由三角形的面積可得：，

即，解得：，

∴S△CDE =，

∴四邊形CEBF的面積=4S△CDE=4×3=12．