Question

如圖，直線y=x+b（b≠0）交坐標軸于A、B兩點，交雙曲線y=

2

x

于點D，過D作兩坐標軸的垂線DC、DE，連接OD．
（1）求證：AD平分∠CDE；
（2）是否存在直線AB，使得四邊形OBCD為平行四邊形？若存在，求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先用b表示出A點坐標為（-b，0），B點坐標為（0，b），則OA=OB，得到△OAB為等腰直角三角形，得到∠OAB=45°，則∠DAC=∠OAB=45°，而DC⊥x軸，DE⊥y軸，易得∠ACD=∠CDE=90°，∠ADC=45°，即可得到結論；
（2）若四邊形OBCD為平行四邊形時，根據(jù)平行四邊形的性質得到AO=AC，OB=CD，而AO=BO，AC=CD，則有OC=2OB=-2b，DC=-b，得到D點坐標為（-2b，-b），然后把D點坐標（-2b，b）代入y=

2

x

得-2b•（-b）=2，解得b=1（舍去），b=-1，所以滿足條件的直線的解析式為y=x-1．

解答：（1）證明：對于y=x+b，令x=0，則y=b；令y=0，則x=-b，
∴A點坐標為（-b，0），B點坐標為（0，b），
∴OA=OB，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∴∠DAC=∠OAB=45°
又∵DC⊥x軸，DE⊥y軸，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∴∠ADC=45°，
∴AD平分∠CDE；

（2）解：存在直線AB，使得OBCD為平行四邊形．利用如下：
若四邊形OBCD為平行四邊形時，則AO=AC，OB=CD，
由（1）知AO=BO，AC=CD
∴OC=2OB=-2b，DC=-b，
∴D點坐標為（-2b，-b），
把D（-2b，-b）代入y=

2

x

得-2b•（-b）=2，解得b=1或b=-1，
∵b＜0，
∴b=-1，
∴存在直線AB：y=x-1，使得四邊形OBCD為平行四邊形．

點評：本題考查了反比例函數(shù)綜合題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標同時滿足兩個函數(shù)的解析式；熟練掌握等腰直角三角形的性質和平行四邊形的性質與判定．