Question

如圖，已知四邊形ABDE，ACFG都是△ABC外側(cè)的正方形，連DF，若M，H分別為DF，BC的中點(diǎn)；求證：MH⊥BC且MH=BC．

Answer 1

證明：分別過點(diǎn)D、A、F作直線BC的垂線，垂足分別為P、T、Q
∵四邊形ABDE為正方形
∴AB=BD，∠ABD=90°
∴∠1=∠3
而∠DPB=∠BTA=90°
∴△DPB≌△BTA （AAS）
∴DP=BT，PB=AT
同理AT=CQ，TC=FQ，
∴PB=CQ
又∵H為BC的中點(diǎn)，
∴BH=HC
∴PB+BH=CQ+CH，即：PH=QH
在直角梯形DPQF中，M為DF的中點(diǎn)，H為PQ的中點(diǎn)
∴MH∥DP
MH=（DP+FQ）=（BT+TC）=BC
又∵DP⊥BC，MH⊥BC
即：MH⊥BC，且MH=BC．
分析：首先分別過點(diǎn)D、A、F作直線BC的垂線，垂足分別為P、T、Q，得直角梯形DPQF，由正方形的性質(zhì)得△DPB≌△BTA，證得DP=BT，PB=AT，同理證得AT=CQ，TC=FQ，所以PB=CQ
再由 H為BC的中點(diǎn)得BH=HC，所以PB+BH=CQ+CH，即：PH=QH，再由所得直角梯形DPQF中，M為DF的中點(diǎn)，H為PQ的中點(diǎn)，得MH∥DP，從而得出MH⊥BC，且MH=BC．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由正方形的性質(zhì)運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)及梯形的中位線定理證明．