Question

如圖，點P為△ABC的邊BC的中點，分別以AB，AC為斜邊作Rt△ABD和Rt△ACE，且∠BAD=∠CAE，求證：PD=PE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,三角形中位線定理

專題：證明題

分析：如圖，分別取AB、AC的中點M、N，連接DM、PM、PN、NE，構(gòu)建三角形中位線，利用三角形中位線定理和直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半證得△MDP≌△NPE（SAS），則該全等三角形的對應(yīng)邊相等：PD=PE．

解答：證明：如圖，分別取AB、AC的中點M、N，連接DM、PM、PN、NE．
∵點P為△ABC的邊BC的中點，
∴PM為△ABC的中位線，
∴PM=

1

2

AC．
又∵NE為直角△AEC斜邊上的中線，
∴NE=AN=

1

2

AC，
∴MP=NE．
同理DM=PN．
∵DM=AM，
∴∠1=∠3，
∴∠5=2∠1（三角形外角定理）．
同理，∠6=2∠2．
又∠1=∠2，
∴∠5=∠6．
又 PM∥AC，PN∥AB，
∴∠7=∠9，∠8=∠9，
∴∠7=∠8，
∴∠5+∠7=∠6+∠8，即∠DMP=∠PNE，
∴在△MDP與△NPE中，

DM=PM ∠DMP=∠PNE MP=NE

，
∴△MDP≌△NPE（SAS），
∴PD=PE．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線以及三角形中位線定理．根據(jù)題意作出輔助線是解題的難點，也是解題的關(guān)鍵．