Question

已知：如圖，平行四邊形ABCD的邊AD=2AB，點E、A、B、F在一條直線上，且AE=BF=AB，EC交AD于M，F(xiàn)D交BC于N．
（1）△AEM≌△DCM嗎？說明理由．
（2）四邊形CDMN是菱形嗎？說明理由．

Answer 1

解：（1）△AEM≌△DCM．理由如下：
在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．
∵點E、A、B、F在一條直線上，
∴AE∥CD，
∴∠AEM=∠MCD．
又∵AE=AB，
∴AE=DC．
在△AEM與△DCM中，
，
∴△AEM≌△DCM（AAS）；

（2）四邊形CDMN是菱形．理由如下：
在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，AB=CD．
由（1）知，△AEM≌△DCM，則AM=DM，即MD=AD，
同理，易證△BFN≌△CDN，則BN=CN，即CN=BC=AD，
∴MD=CN，
又MD∥NC，
∴四邊形CDMN是平行四邊形．
又∵2AB=AD=2DM，AB=CD，
∴DM=CD，
∴平行四邊形CDMN是菱形．
分析：（1）△AEM≌△DCM．利用“平行四邊形ABCD的對邊平行且相等”的性質(zhì)推知AB∥CD，AB=CD．然后結(jié)合已知條件和全等三角形的判定定理AAS證得結(jié)論；
（2）四邊形CDMN是菱形．由四邊形CDMN的對邊MD=NC且MD∥NC推知四邊形CDMN是平行四邊形．再由MD=DC證得平行四邊形CDMN是菱形．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定．注意：菱形的鄰邊相等的平行四邊形，而不是鄰邊相等的四邊形．