Question

三角形角平分線(xiàn)交點(diǎn)或三角形內(nèi)切圓的圓心都稱(chēng)為三角形的內(nèi)心．按此說(shuō)法，四邊形的四個(gè)角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，我們也稱(chēng)為“四邊形的內(nèi)心”．
（1）試舉出一個(gè)有內(nèi)心的四邊形．
（2）探究：對(duì)于任意四邊形ABCD，如果有內(nèi)心，則四邊形的邊長(zhǎng)具備何種條件？
（3）探究：腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形ABC，∠C=90°，O是△ABC的內(nèi)心，若沿圖中虛線(xiàn)剪開(kāi)，O仍然是四邊形ABDE的內(nèi)心，此時(shí)裁剪線(xiàn)有多少條？為什么？
（4）問(wèn)題（3）中，O是四邊形ABDE內(nèi)心，且四邊形ABDE是等腰梯形，求DE的長(zhǎng)？

Answer 1

【答案】分析：（1）對(duì)角線(xiàn)平分每一對(duì)角的四邊形都可以，如菱形、正方形；
（2）對(duì)于任意四邊形ABCD，如果有內(nèi)心，則四邊形的邊長(zhǎng)具備條件是對(duì)邊和相等；
（3）根據(jù)O到AB的距離等于O到DE的距離，即可得到答案；
（4）由勾股定理求出AB=2，過(guò)D作DF⊥AB于F，過(guò)E作EQ⊥AB于Q，得到平行四邊形DEQF，推出DE=FQ，DF=EQ，根據(jù)等腰直角三角形得出AF=DF=BQ=QE，設(shè)DC=x，由勾股定理求出DE、AF、BQ的長(zhǎng)，即AF+FQ+BQ=2，代入即可求出答案．
解答：（1）答：一個(gè)有內(nèi)心的四邊形是菱形．

（2）答：對(duì)于任意四邊形ABCD，如果有內(nèi)心，則四邊形的邊長(zhǎng)具備條件是對(duì)邊和相等．

（3）解：有無(wú)數(shù)條，
理由是根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到：O到AB的距離等于O到DE的距離，在△ABC內(nèi)有無(wú)數(shù)條，如圖：具備DE∥AB即可．
（4）

解：等腰直角三角形ACB，AC=BC=2，由勾股定理得：AB=2，
過(guò)D作DF⊥AB于F，過(guò)E作EQ⊥AB于Q，
∴DF∥EQ，
∵DE∥AB，
∴四邊形DEQF是平行四邊形，
∴DE=FQ，DF=EQ，
∵∠A=∠B=45°，
∴AF=DF，
同理BQ=QE，
設(shè)DE=x，AB=2，過(guò)C作CM⊥BC，交DE與N點(diǎn)，
由AB=AC，根據(jù)三線(xiàn)合一可得CM=，
由三角形的面積有兩種求法，S=AC•BC=（AC+BC+AB）•OM，
即4=（2+2+2）×OM，解得：OM=2-，
∴NM=2OM=4-2，CN=-（4-2）=3-4，
又△CDE∽△CAB，
∴=，即=，
解得：x=6-8，
則DE=6-8．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，等腰題型的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題是一個(gè)拔高的題目，有一定難度．