Question

如圖，雙曲線經(jīng)過四邊形OABC的頂點(diǎn)A、C，∠ABC=90°，OC平分OA與x軸負(fù)半軸的夾角，AB∥x軸，將△ABC沿AC翻折后得到△AB′C，B'點(diǎn)落在OA上，則四邊形OABC的面積是________．

Answer 1

2
分析：設(shè)BC的延長線交x軸于點(diǎn)D，連接OC，點(diǎn)C（-m，n），AB=a，由角平分線的性質(zhì)得，CD=CB′，則△OCD≌△OCB′，再由翻折的性質(zhì)得，BC=B′C，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得出S_△OCD=mn=1，由AB∥x軸，得點(diǎn)A（a-m，2n），由題意得2n（a-m）=-2，從而得出三角形ABC的面積等于an，即可得出答案．
解答：解：設(shè)BC的延長線交x軸于點(diǎn)D，
設(shè)點(diǎn)C（-m，n），AB=a，
∵∠ABC=90°，AB∥x軸，
∴CD⊥x軸，
由折疊的性質(zhì)可得：∠AB′C=∠ABC=90°，
∴CB′⊥OA，
∵OC平分OA與x軸負(fù)半軸的夾角，
∴CD=CB′，
在Rt△OB′C和Rt△ODC中，
∵，
∴Rt△OCD≌Rt△OCB′（HL），
再由翻折的性質(zhì)得，BC=B′C，
∴BC=CD，
∴點(diǎn)B（-m，2n），
∵雙曲線y=-（x＜0）經(jīng)過四邊形OABC的頂點(diǎn)A、C，
∴S_△OCD=|mn|=1，
∴S_△OCB′=S_△OCD=1，
∵AB∥x軸，
∴點(diǎn)A（a-m，2n），
∴2n（a-m）=-2，
∴an-mn=-1，
∵mn=2
∴an=1，
∴S_△ABC=an=，
∴S_{四邊形OABC}=S_△OCB′+S_△ABC+S_△ABC=1++=2．
故答案為：2．
點(diǎn)評：題屬于反比例函數(shù)的綜合題，考查了折疊的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．