Question

在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC的中點，DG⊥AC交AB于點G．
（1）如圖1，E為線段DC上任意一點，點F在線段DG上，且DE=DF，連接EF與 CF，過點F作FH⊥FC，交直線AB于點H．
①求證：DG=DC；
②判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明．
（2）若E為線段DC的延長線上任意一點，點F在射線DG上，（1）中的其他條件不變，借助圖2畫出圖形．在你所畫圖形中找出一對全等三角形，并判斷你在（1）中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變，（本小題直接寫出結(jié)論，不必證明）．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)已知首先得出∠ADG=90°，進(jìn)而求出AD=DG，得出DG=DC；
②利用已知首先得出∠GFH=∠ECF與∠HGF=∠FEC，再利用GF=EC得出△FGH≌△CEF，進(jìn)而得出FH=FC；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，再利用②中方法即可得出FH=FC．

解答：解：（1）①證明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
又GD⊥AC，
∴∠ADG=90°，
在△ADG中，
∠A+∠ADG+∠AGD=180°，
∴∠AGD=45°，
∴∠A=∠AGD，
∴AD=DG，
又D是AC中點，
∴AD=CD，
∴DG=DC，
②由①DG=DC，
又∵DF=DE，
∴DG-DF=DC-DE，
即FG=CE，
由①∠AGD=45°，
∴∠HGF=180°-45°=135°，
又DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠DEF=45°，
∴∠CEF=180°-45°=135°，
∴∠HGF=∠FEC，
又HF⊥CF，
∴∠HFC=90°，
∴∠GFH+∠DFC=180°-90°=90°，
又Rt△FDC中，
∠DFC+∠ECF=90°，
∴∠GFH=∠ECF，
在△FGH和△CEF中

∠HGF=∠FEC GF=EC ∠GFH=∠ECF

，
∴△FGH≌△CEF（ASA），
∴FH=FC；

（2）如圖所示，
△FHG≌△CFE，
不變，F(xiàn)H=FC．

點評：此題主要考查了全等三角形的證明以及利用已知畫出圖形，熟練掌握全等三角形的判定以及利用已知條件畫出幾何圖形是考查重點．