Question

黃金分割比是生活中比較多見的一種長度比值，它能給人許多美感和科學(xué)性，我們初中階段學(xué)過的許多幾何圖形也有著類似的邊長比例關(guān)系．例如我們熟悉的頂角是36°的等腰三角形，其底與腰之比就為黃金分割比

5 -1

2

，底角平分線與腰的交點為黃金分割點．
（1）如圖1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的角平分線CD交腰AB于點D，請你證明點D是腰AB的黃金分割點；
（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC，若

AB

BC

=

5 -1

2

，則請你求出∠A的度數(shù)；
（3）如圖3，如果在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB上的高，∠A、∠B、∠ACB的對邊分別為a，b，c．若點D是AB的黃金分割點，那么該直角三角形的三邊a，b，c之間是什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，求出∠ABC=∠ACB=72°，再根據(jù)CD是∠ACB的角平分線，求出∠ACD=∠BCD=36°，所以△BCD和△ABC是相似的兩個等腰三角形，并且AD=BC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式整理即可證明；
（2）在BC邊上截取BD=AB，連接AD，再根據(jù)“AB=AC，

AB

BC

=

5 -1

2

”分別求出

CD

AC

與

AC

BC

的值都是

5 -1

2

，所以△ACD∽△ACB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，利用三角形內(nèi)角和定理列式即可求出∠A的度數(shù)；
（3）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例分別求出AD、BD的長，再根據(jù)AB=AD+BD代入整理即可得到a、b、c之間的關(guān)系．

解答：（1）證明：∵在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
又CD是∠ACB的角平分線，
∴∠ACD=∠BCD=36°，
∴∠A=∠DCA，∠BDC=72°，
∴AD=CD=BC，
在△BCD和△BAC中，
∠B=∠B，∠BCD=∠A，
∴△BCD∽△BAC，
∴

BC

AB

=

BD

BC

，
∴BC²=AB•BD又BC=AD，（1分）
∴AD²=AB•BD，
∴D是AB的黃金分割點；

（2）解：在底邊BC上截取BD=AB，連接AD，
∵

AB

BC

=

5 -1

2

，AB=AC，
∴

BD

BC

=

5 -1

2

，
∴

AC

BC

=

5 -1

2

，
∴

CD

BD

=

CD

AC

=

5 -1

2

，
∴

CD

AC

=

AC

BC

，
又∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴設(shè)∠CAB=∠CDA=x，
∴∠BAD=∠BDA=2x，
∴x+2x+x+x=180°，
∴x=36°，
∴∠BAC=108°；

（3）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
CD為AB上的高，
∴△ADC∽△CDB∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，

BD

BC

=

BC

AB

∴AD=

b2

c

，BD=

a2

c

，（1分）
∵點D是AB的黃金分割點，
∴AD²=BD•AB，（1分）
∴(

b2

c

)2=

a2

c

•c，
該直角三角形的三邊a，b，c之間應(yīng)滿足b²=ac．

點評：本題綜合性較強，主要利用相似三角形對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等，三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握各定理和性質(zhì)并靈活運用是解題的關(guān)鍵．