Question

①已知：△ABC中，BC=m，∠A=60°．問滿足此條件的三角形有多少個？它們的最大面積存在嗎？若存在求出最大面積，并回答此時三角形的形狀；若不存在，請說明理由．

②有一個正方形的養(yǎng)魚塘，四個角各有一棵大樹．生產(chǎn)隊設(shè)想把魚塘擴(kuò)大，使它成為一個面積最大的正方形，而又不把樹挖掉，這一設(shè)想能否實現(xiàn)？若能，請你設(shè)計畫出圖形，并證明此時面積最大．若不能，請說明理由．

③上問題推廣，有一個正五邊形的養(yǎng)魚塘，五個角各有一棵樹，要擴(kuò)大使它成為面積最大的正五邊形，而又不把樹挖掉，可以嗎？畫圖說明．

Answer 1

解：①在△ABC中，BC=m，∠A=60°滿足此條件的三角形有無數(shù)個；
如圖，作△ABC的外接圓，

當(dāng)A是優(yōu)弧BAC的中點時，BC邊上的高最大，因而面積最大，最大面積為S=BC•AD=m•m=m²
如下圖，此時三角形為等邊三角形．

②能夠?qū)崿F(xiàn)設(shè)想，設(shè)計圖形如下：

③可以，設(shè)計圖形如下：

分析：①根據(jù)A一定在以BC為弦，BC一側(cè)，所對的圓周角是60°的圓上，當(dāng)AB=AC時，△ABC的面積最大，據(jù)此即可求解；
②過各頂點作對應(yīng)的對角線的垂線，各條線組成的四邊形，就是所求的四邊形；
③過各個頂點作正五邊形，使各頂點時正五邊形的各邊的中點．
點評：本題主要考查了作圖的設(shè)計，正確理解（1）中，△ABC面積最大的條件是解題的關(guān)鍵．