Question

【題目】如圖1，點(diǎn)P，Q分別是邊長(zhǎng)為4 cm的等邊△ABC邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都以1 cm/s的速度分別向B，C運(yùn)動(dòng)．

(1)連接AQ，CP交于點(diǎn)M，則P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ的大小變化嗎？若變化，說明理由；若不變，求出它的度數(shù)；

(2)何時(shí)△PBQ是直角三角形？

(3)如圖2，若點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線 AB，BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ，CP交于點(diǎn)M，則∠CMQ的度數(shù)為。

Answer 1

【答案】(1) ∠CMQ＝60°不變；

(2) 當(dāng)t＝s或s時(shí)，△PBQ為直角三角形；

(3) ∠CMQ=120°．

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可證明△APC≌△BQA，則可求得∠BAQ=∠ACP，再利用三角形外角的性質(zhì)可證得∠CMQ=60°；

（2）可用t分別表示出BP和BQ，分∠BPQ=90°和∠BPQ=90°兩種情況，分別利用直角三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，則可求得t的值；

（3）同（1）可證得△PBC≌△QCA，再利用三角形外角的性質(zhì)可求得∠CMQ=120°．

解：(1)∠CMQ＝60°不變，理由如下：

由題意知AP＝BQ.

∵△ABC為等邊三角形，

∴AC＝BA，∠CAP＝∠B＝60°.

∴△APC≌△BQA(SAS)．

∴∠ACP＝∠BAQ.

∵∠CMQ＝∠ACP＋∠QAC，

∴∠CMQ＝∠BAQ＋∠QAC＝∠BAC＝60°.

∴P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，∠CMQ的大小不變，為60°.

(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則AP＝BQ＝t，BP＝4－t.

①當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)，

∵∠B＝60°，

∴∠BPQ＝30°.

∴BQ＝BP，即t＝ (4－t)，解得t＝；

②當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，

∵∠B＝60°，

∴∠BQP＝30°.

∴BP＝BQ，即4－t＝t，解得t＝.

∴當(dāng)t＝s或s時(shí)，△PBQ為直角三角形．

（3）在等邊三角形ABC中，AC=BC，∠ABC=∠BCA=60°，

∴∠PBC=∠QCA=120°，且BP=CQ，

在△PBC和△QCA中

∴△PBC≌△QCA（SAS），

∴∠BPC=∠MQC，

又∵∠PCB=∠MCQ，

∴∠CMQ=∠PBC=120°，

∴在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ的大小不變，∠CMQ=120°．