Question

【題目】我們定義：兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對(duì)稱(chēng)軸相同，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同軸二次函數(shù)為y＝﹣x2﹣2x﹣5．

（1）請(qǐng)你寫(xiě)出y＝x2+x﹣5的友好同軸二次函數(shù)；

（2）如圖，二次函數(shù)L1：y＝ax2﹣4ax+1與其友好同軸二次函數(shù)L2都與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B、C分別在L1、L2上，點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)均為m（0＜m＜2）它們關(guān)于L1的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為B′，C′，連接BB′，B′C′，C′C，CB．若a＝3，且四邊形BB′C′C為正方形，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣5；（2）

【解析】

（1）根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義求出即可；

（2）先根據(jù)二次函數(shù)L1的解析式得出其友好同軸二次函數(shù)L2的函數(shù)解析式，代入a＝3，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)B、C、B′、C′的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出BC、BB′的值，由正方形的性質(zhì)可得BC＝BB′，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其大于0小于2的值即得結(jié)果．

解：（1）∵，1×（）＝2，

∴函數(shù)y＝x2+x﹣5的友好同軸二次函數(shù)為y＝x2+2x﹣5．

（2）二次函數(shù)L1：y＝ax2﹣4ax+1的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣＝2，其友好同軸二次函數(shù)L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1．

∵a＝3，

∴二次函數(shù)L1：y＝ax2﹣4ax+1＝3x2﹣12x+1，二次函數(shù)L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1＝﹣2x2+8x+1，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，3m2﹣12m+1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，﹣2m2+8m+1），

∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4﹣m，3m2﹣12m+1），點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（4﹣m，﹣2m2+8m+1），

∴BC＝﹣2m2+8m+1﹣（3m2﹣12m+1）＝﹣5m2+20m，BB′＝4﹣m﹣m＝4﹣2m．

∵四邊形BB′C′C為正方形，

∴BC＝BB′，即﹣5m2+20m＝4﹣2m，

解得：m1＝，m2＝（不合題意，舍去），

∴m的值為．