如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0,1),B(-4,4),將點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針方向90°得到點(diǎn)C;頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B.
(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)拋物線上一動點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d1,點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為d2,試說明d2=d1+1;
(3)在(2)的條件下,請?zhí)骄慨?dāng)點(diǎn)P位于何處時(shí),△PAC的周長有最小值,并求出△PA精英家教網(wǎng)C的周長的最小值.
分析:(1)設(shè)拋物線的解析式:y=ax2,把B(-4,4)代入即可得到a的值;過點(diǎn)B作BE⊥y軸于E,過點(diǎn)C作CD⊥y軸于D,易證Rt△BAE≌Rt△ACD,得到AD=BE=4,CD=AE=OE-OA=4-1=3,即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)(3,5);
(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b),過P作PF⊥y軸于F,PH⊥x軸于H,則有d1=
1
4
a2,又AF=OF-OA=PH-OA=d1-1=
1
4
a2-1,PF=a,在Rt△PAF中,利用勾股定理得到PA=d2=
1
4
a2+1,
即有結(jié)論d2=d1+1;
(3)△PAC的周長=PC+PA+5,由(2)得到△PAC的周長=PC+PH+6,要使PC+PH最小,則C、P、H三點(diǎn)共線,P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,
9
4
),此時(shí)PC+PH=5,得到△PAC的周長的最小值=5+6=11.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)設(shè)拋物線的解析式:y=ax2
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(-4,4),
∴4=a•42,解得a=
1
4

所以拋物線的解析式為:y=
1
4
x2;
過點(diǎn)B作BE⊥y軸于E,過點(diǎn)C作CD⊥y軸于D,如圖,
∵點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C,
∴Rt△BAE≌Rt△ACD,
∴AD=BE=4,CD=AE=OE-OA=4-1=3,
∴OD=AD+OA=5,
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(3,5);

(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b),過P作PF⊥y軸于F,PH⊥x軸于H,如圖,
∵點(diǎn)P在拋物線y=
1
4
x2上,
∴b=
1
4
a2,
∴d1=
1
4
a2,
∵AF=OF-OA=PH-OA=d1-1=
1
4
a2-1,PF=a,
在Rt△PAF中,PA=d2=
AF2+PF2
=
(
1
4
a2-1)
2
+a2

=
1
4
a2+1,
∴d2=d1+1;

(3)作直線y=1,過C點(diǎn)作y=1 的垂線,交拋物線于P點(diǎn),則P即為所求的點(diǎn).精英家教網(wǎng)
由(1)得AC=5,
∴△PAC的周長=PC+PA+5
=PC+PH+6,
要使PC+PH最小,則C、P、H三點(diǎn)共線,
∴此時(shí)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,把x=3代入y=
1
4
x2,得到y(tǒng)=
9
4
,
即P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,
9
4
),此時(shí)PC+PH=5,
∴△PAC的周長的最小值=5+6=11.
點(diǎn)評:本題考查了點(diǎn)在拋物線上,點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足二次函數(shù)的解析式和頂點(diǎn)在原點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為:y=ax2;也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理以及兩點(diǎn)之間線段最短.
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18、如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-3,0),B(0,4),對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到三角形①、②、③、④…,則三角形⑦的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
(24,0)

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精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4),將OP繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OP′.
(1)在圖中畫出線段OP′;
(2)求P′的坐標(biāo)和
PP′
的長度.

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如圖,在直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn).反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象經(jīng)過第一象限的點(diǎn)A,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的
3
2
倍.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)如果經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)圖象與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B,AC⊥x軸于點(diǎn)C,若△ABC的面積為9,求這個一次函數(shù)的解析式.
(3)點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象上,且點(diǎn)D在直線AC的右側(cè),作DE⊥x軸于點(diǎn)E,當(dāng)△ABC與△CDE相似時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).

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如圖,在直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-6,0),B(-4,6),C(0,2).畫出△ABC的兩個位似圖形△A1B1C1,△A2B2C2,同時(shí)滿足下列兩個條件:
(1)以原點(diǎn)O為位似中心;
(2)△A1B1C1,△A2B2C2與△ABC的面積比都是1:4.(作出圖形,保留痕跡,標(biāo)上相應(yīng)字母)

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如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-4,0),B(0,3),對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到三角形(1),三角形(2),三角形(3),三角形(4),…,

(1)△AOB的面積是
6
6
;
(2)三角形(2013)的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)是
(8052,0)
(8052,0)

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