Question

《勾股圓方圖》是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖（1））．設每個直角三角形中較短直角邊為a，較長直角邊為b，斜邊為c
（1）利用圖（1）面積的不同表示方法驗證勾股定理．
（2）實際上還有很多代數(shù)恒等式也可用這種方法說明其正確性．試寫出圖（2）所表示的代數(shù)恒等式：

 

；
（3）如果圖（1）大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，求（a+b）²的值．

Answer 1

分析：（1）如圖（1），根據四個全等的直角三角形的面積+陰影部分小正方形的面積=大正方形的面積，代入數(shù)值，即可證明；
（2）5個矩形，長寬分別為x，y；兩個邊長分別為y的正方形和兩個邊長為x的正方形，可以看成一個長寬為x+2y，2x+y的矩形；
（3）利用（1）的結論進行解答．

解答：解：（1）圖（1）中的大正方形的面積可以表示為c²，也可表示為（b-a）²+4×

1

2

ab
∴（b-a）²+4×

1

2

ab=c² 
化簡得b²-2ab+b²+2ab=c²
∴當∠C=90°時，a²+b²=c²；

（2）（x+y）（x+2y）=x²+3xy+2y²
故填：（x+y）（x+2y）=x²+3xy+2y²


（3）依題意得

a2+b2=c2=13 (b-a)2=1

則2ab=12
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=13+12=25，即（a+b）²=25．

點評：本題考查了勾股定理的證明．求面積時，利用了“分割法”．