Question

在斜坡A處立一旗桿AB（旗桿與水平面垂直），一小球從斜坡O點(diǎn)拋出（如圖），小球擦旗桿頂B而過(guò)，落地時(shí)撞擊斜坡的落點(diǎn)為C，已知A點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為

5

2

米，旗桿AB高為3米，C點(diǎn)的垂直高度為3.5米，C點(diǎn)與O點(diǎn)的水平距離為7米，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向與豎直方向分別為x軸、y軸，建立直角坐標(biāo)系．
（1）求小球經(jīng)過(guò)的拋物線的解析式（小球的直徑忽略不計(jì)）；
（2）H為小球所能達(dá)到的最高點(diǎn)，求OH與水平線Ox之間夾角的正切值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意需求B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，C點(diǎn)坐標(biāo)由題意易知為（7，3.5），所以重點(diǎn)求B點(diǎn)坐標(biāo)．如圖，根據(jù)

AE

OE

=

CD

OD

=

3.5

7

=

1

2

，結(jié)合OA=

5

2

，可求A點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出B點(diǎn)坐標(biāo)．由拋物線過(guò)O、B、C三點(diǎn)求出解析式；
（2）tan∠HOF=

HF

OF

，即頂點(diǎn)H的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比，求頂點(diǎn)坐標(biāo)求解．

解答：解：（1）作CD⊥OX于D點(diǎn)，HF⊥OX于F，延長(zhǎng)BA交OX于E點(diǎn)．
根據(jù)題意知C（7，3.5），

AE

OE

=

CD

OD

=

3.5

7

=

1

2

，即OE=2AE，
又OA=

5

2

，根據(jù)勾股定理可得AE=

1

2

，OE=1，
所以BE=BA+AE=3.5，B點(diǎn)坐標(biāo)為B（1，3.5）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O（0，0）、B（1，3.5）、C（7，3.5），
∴

c=0 a+b+c=3.5 49a+7b+c=3.5

解得

a=- 1 2 b=4 c=0

∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+4x

（2）y=-

1

2

x²+4x=-

1

2

（x²-8x）=-

1

2

（x-4）²+8，
所以頂點(diǎn)H（4，8），tan∠HOF=

HF

OF

=

8

4

=2．

點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵是求B點(diǎn)坐標(biāo)，需運(yùn)用相似形及解直角三角形知識(shí)綜合解答．