Question

已知直線l：y=-

n+1

n

x+

1

n

（n是不為零的自然數(shù)）．當n=1時，直線l₁：y=-2x+1與x軸和y軸分別交于點A₁和B₁，設△A₁OB₁（其中O是平面直角坐標系的原點）的面積為S₁；當n=2時，直線l₂：y=-

3

2

x+

1

2

與x軸和y軸分別交于點A₂和B₂，設△A₂OB₂的面積為S₂；…依此類推，直線l_n與x軸和y軸分別交于點A_n和B_n，設△A_nOB_n的面積為S_n．則S₁=

 

．S₁+S₂+S₃…+S_n=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)直線l：y=-

n+1

n

x+

1

n

（n是不為零的自然數(shù)），分別求出當n=1、n=2、n=3…時所形成的面積，然后總結規(guī)律，求出結果．

解答：解：直線y=-

n+1

n

x+

1

n

，組成的三角形是以

1

n+1

為底邊長，以

1

n

長為高的直角三角形，
那么其面積為Sn=

1

2

•

1

n+1

•

1

n

=

1

2n2+2n

；
因此當n=1時，S₁=

1

2+2

=

1

4

；
S₁+S₂+S₃+…+Sn
=

1

4

+

1

12

+

1

24

+…+

1

2n(n+1)

=

1

2

×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

），
=

1

2

×（1-

1

n+1

），
=

n

2n+2

．

點評：本題的關鍵是通過直線l的解析式得出直線與坐標軸組成的三角形的面積，求前n項的面積和時，要注意式子中的規(guī)律，將各項逐一拆分即可化簡求解．