【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動,同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動,運(yùn)動時間為t秒(0<t<2),連接PQ.
(1)若△BPQ與△ABC相似,求t的值;
(2)試探究t為何值時,△BPQ的面積是cm2;
(3)直接寫出t為何值時,△BPQ是等腰三角形;
(4)連接AQ,CP,若AQ⊥CP,直接寫出t的值.
【答案】(1)t=1,t=;(2)t1=或t2=;(3) 當(dāng)t=或或時,△BPQ是等腰三角形;(4)t=
【解析】
(1)由勾股定理可求AB的長,分兩種情況討論,由相似三角形的性質(zhì)可求解;
(2)過點(diǎn)P作PE⊥BC于E,由平行線分線段成比例可得PE=3t,由三角形的面積公式列出方程可求解;
(3)分三種情況討論,由等腰三角形的性質(zhì)可求解;
(4)過P作PM⊥BC于點(diǎn)M,AQ,CP交于點(diǎn)N,則有PB=5t,PM=3t,MC=8-4t,根據(jù)△ACQ∽△CMP,得出AC:CM=CQ:MP,代入計算即可.
(1)∵∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,
∴AB===10cm,
∵△BPQ與△ABC相似,且∠B=∠B,
∴或,
當(dāng)時,
∴,
∴t=1,
當(dāng),
∴,
∴t=;
(2)如圖1,過點(diǎn)P作PE⊥BC于E,
∴PE∥AC,
∴,
∴PE==3t,.
∴S△BPQ=×(8﹣4t)×3t=,
∴t1=或t2=;
(3)①當(dāng)PB=PQ時,如圖1,過P作PE⊥BQ,
則BE=BQ=4﹣2t,PB=5t,
由(2)可知PE=3t,
∴BE===4t,
∴4t=4﹣2t,
∴t=
②當(dāng)PB=BQ時,即5t=8﹣4t,
解得:t=,
③當(dāng)BQ=PQ時,如圖2,過Q作QG⊥AB于G,
則BG=PB=t,BQ=8﹣4t,
∵△BGQ∽△ACB,
∴,
∴
解得:t=.
綜上所述:當(dāng)t=或或時,△BPQ是等腰三角形;
(4)過P作PM⊥BC于點(diǎn)M,AQ,CP交于點(diǎn)N,如圖3所示:則PB=5t,
∵AC⊥BC
∴△PMB∽△ACB,
∴=
∴BM=4t,PM=3t,且BQ=8﹣4t,BC=8,
∴MC=8﹣4t,CQ=4t,
∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,
∴∠NAC=∠PCM,
∵∠ACQ=∠PMC,
∴△ACQ∽△CMP,
∴,
∴
∴t=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn),連接AF并延長交DC的延長線于點(diǎn)E,連接AC、BE.
(1)求證:AB=CE;
(2)若,則四邊形ABEC是什么特殊四邊形?請說明理由.
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【題目】有時我們可以看到這樣的轉(zhuǎn)盤游戲:如圖所示,你只要出1元錢就可以隨意地轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤停止時指針落在哪個區(qū)域,你就按照這個區(qū)域所示的數(shù)字相應(yīng)地順時針跳過幾格,然后按照下圖所示的說明確定你的資金是多少.例如,當(dāng)指針指向 “2”區(qū)域時候,你就向前跳過兩個格到“5”,按獎金說明,“5”所示的資金為0.2元,你就可以得0.2元.請問這個游戲公平嗎?能否用你所學(xué)的知識揭示其中的秘密?
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【題目】(12分)如圖,在直角坐標(biāo)系中,Rt△OAB的直角頂點(diǎn)A在x軸上,OA=4,AB=3.動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度,沿AO向終點(diǎn)O移動;同時點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1.25個單位長度的速度,沿OB向終點(diǎn)B移動.當(dāng)兩個動點(diǎn)運(yùn)動了x秒(0<x<4)時,解答下列問題:
(1)求點(diǎn)N的坐標(biāo)(用含x的代數(shù)式表示);
(2)設(shè)△OMN的面積是S,求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式;當(dāng)x為何值時,S有最大值?最大值是多少?
(3)在兩個動點(diǎn)運(yùn)動過程中,是否存在某一時刻,使△OMN是直角三角形?若存在,求出x的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+4x+m﹣4(m為常數(shù))與y軸的交點(diǎn)為C,M(3,0)與N(0,﹣2)分別是x軸、y軸上的點(diǎn)
(1)當(dāng)m=1時,求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo).
(2)若3≤x≤3+m時,函數(shù)y=﹣x2+4x+m﹣4有最小值﹣7,求m的值.
(3)若拋物線與線段MN有公共點(diǎn),直接寫出m的取值范圍是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國中東部地區(qū)霧霾天氣趨于嚴(yán)重,環(huán)境治理已刻不容緩.我市某電器商場根據(jù)民眾健康需要,代理銷售某種家用空氣凈化器,其進(jìn)價是200元/臺.經(jīng)過市場銷售后發(fā)現(xiàn):在一個月內(nèi),當(dāng)售價是400元/臺時,可售出200臺,且售價每降低10元,就可多售出50臺.若供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價不能低于300元/臺,代理銷售商每月要完成不低于450臺的銷售任務(wù).
(1)試確定月銷售量y(臺)與售價x(元/臺)之間的函數(shù)關(guān)系式;并求出自變量x的取值范圍;
(2)當(dāng)售價x(元/臺)定為多少時,商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w(元)最大?最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BD是⊙O的弦,延長BD到點(diǎn)C,使DC=BD,連結(jié)AC交⊙O于點(diǎn)F.
(1)AB與AC的大小有什么關(guān)系?請說明理由;
(2)若AB=8,∠BAC=45°,求:圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題12分)如圖,AB是⊙O的直徑,BC為⊙O的切線,D為⊙O上的一點(diǎn),CD=CB,延長CD交BA的延長線于點(diǎn)E.
(1)求證:CD為⊙O的切線;
(2)求證:∠C=2∠DBE.
(3)若EA=AO=2,求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)
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【題目】(9分)已知:ABCD的兩邊AB,AD的長是關(guān)于x的方程的兩個實(shí)數(shù)根.
(1)當(dāng)m為何值時,四邊形ABCD是菱形?求出這時菱形的邊長;
(2)若AB的長為2,那么ABCD的周長是多少?
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