如圖1,已知拋物線y=ax2-2ax+b經(jīng)過梯形OABC的四個頂點(diǎn),若BC=10,梯形OABC的面積為18.
(1)求拋物線解析式;
(2)將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移,平移后的兩條直線分別交拋物線于點(diǎn)O1、A1、C1、B1,得到如圖2的梯形O1A1B1C1.設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S,A1、B1的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2).用含S的代數(shù)式表示x2-x1,并求出當(dāng)S=36時點(diǎn)A1的坐標(biāo);
(3)如圖3,設(shè)圖1中點(diǎn)D坐標(biāo)為(1,3),M為拋物線的頂點(diǎn),動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運(yùn)動,動點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動.P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時,P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動.設(shè)P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動時間為t,是否存在某一時刻t,使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似?若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)拋物線y=ax2-2ax+b,可知對稱軸方程,從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo);再根據(jù)BC=10,梯形OABC的面積為18,可求B,C的坐標(biāo),再將O、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2-2ax+b,運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(2)在兩條直線平移的過程中,梯形的上下底發(fā)生了改變,但是梯形的高沒有變化,仍為3,即y2-y1=3,根據(jù)拋物線的解析式,用x1、x2表示出y1、y2,然后聯(lián)立y2-y1=3,可得到第一個關(guān)于x1、x2的關(guān)系式①;在兩條直線平移過程中,拋物線的對稱軸沒有變化,用x1、x2以及拋物線的對稱軸的解析式表示出梯形上下底的長,進(jìn)而得到梯形面積的表達(dá)式,這樣得到另外一個x1、x2的關(guān)系式②,聯(lián)立這兩個關(guān)系式,得到關(guān)于(x2-x1)與S的關(guān)系式③,將S=36代入②③的關(guān)系式中,即可列方程組求得x1、x2的值,進(jìn)而可求出點(diǎn)A1的坐標(biāo);
(3)要解答此題,首先要弄清幾個關(guān)鍵點(diǎn):
一、當(dāng)PQ∥AB時,設(shè)直線AB與拋物線對稱軸的交點(diǎn)為E,可得△DPQ∽△DBE,可用t表示出DP、DQ的長,而E點(diǎn)坐標(biāo)易求得,根據(jù)相似三角形所得比例線段,即可得到此時t的值即t=
15
7

二、當(dāng)P、Q都停止運(yùn)動時,顯然BC>DM,所以此時t=DM÷1=3
1
8

設(shè)直線PQ與直線AB的交點(diǎn)為F,與x軸的交點(diǎn)為G;假設(shè)直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似.顯然t=
15
7
不合題意,舍去,所以分兩種情況討論:①當(dāng)0<t<
15
7
時,由題意知△FQE∽△FAG,得∠FGA=∠FEQ,由于BC∥x軸,則∠DPQ=∠FGA=∠FEQ,由此可證得△DPQ∽△DEB,DB、DE的長已求得,可用t表示出DP、DQ的長,根據(jù)相似三角形所得比例線段,即可求得此時t的值;
②當(dāng)
15
7
<t<3
1
8
時,方法同①;
在求得t的值后,還要根據(jù)各自的取值范圍將不合題意的解舍去.
解答:解:(1)∵y=ax2-2ax+b=a(x-1)2-a+b,
∴對稱軸為:直線x=1,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0);
∵BC=10,梯形OABC的面積為18,
∴梯形OABC的高為:18×2÷(10+2)=3,
∴B(10÷2+1,3),即B(6,3),
C(1-10÷2,3),即C(-4,3).
將O(0,0),B(6,3)代入y=ax2-2ax+b,
b=0
36a-12a+b=3
,
解得
a=
1
8
b=0
,
∴拋物線解析式為:y=
1
8
x2-
1
4
x;

(2)由題意得y2-y1=3,y2-y1=
1
8
x22-
1
4
x2-
1
8
x12+
1
4
x1=3,
得:(x2-x1)[
1
8
(x2+x1)-
1
4
]=3①,
S=
2(x1-1+x2-1)×3
2
=3(x1+x2)-6,
得:x1+x2=
S
3
+2②,
把②代入①并整理得:x2-x1=
72
s
(S>0),
當(dāng)s=36時,
x2+x1=14
x2-x1=2

解得:
x1=6
x2=8
,
把x1=6代入拋物線解析式,得y1=
1
8
×62-
1
4
×6=3,
∴點(diǎn)A1(6,3);

(3)存在t=
20
7
秒,可使直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似.理由如下:
易知直線AB的解析式為y=
3
4
x-
3
2
,可得直線AB與對稱軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,-
3
4
),
∴BD=5,DE=
15
4
,DP=5-t,DQ=t,
當(dāng)PQ∥AB時,
DQ
DE
=
DP
DB

t
15
4
=
5-t
5
,解得t=
15
7

設(shè)直線PQ與直線AB、x軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)F、G.假設(shè)直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似.下面分兩種情況討論:
①當(dāng)0<t<
15
7
時,如圖3-1;
∵△FQE∽△FAG,
∴∠FGA=∠FEQ,
∴∠DPQ=∠DEB;
易得△DPQ∽△DEB,
DQ
DB
=
DP
DE
,即
t
5
=
5-t
15
4
,
解得t=
20
7
15
7
,
∴t=
20
7
不合題意,舍去;
②當(dāng)
15
7
<t<3
1
8
時,如圖3-2;
∵△FAG∽△FQE,
∴∠FAG=∠FQE,
∵∠DQP=∠FQE,∠FAG=∠EBD,
∴∠DQP=∠DBE,
易得△DPQ∽△DEB,
DQ
DB
=
DP
DE
,即
t
5
=
5-t
15
4
,
解得t=
20
7
,符合題意.
綜上,可知當(dāng)t=
20
7
秒時,直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似.
點(diǎn)評:本題考查了二次函數(shù)的綜合類試題,涉及到:二次函數(shù)解析式的確定、等腰梯形的性質(zhì)、圖形面積的求法、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識;在(3)題中能夠正確地畫出圖形,并準(zhǔn)確地找到所求的三角形是解答此題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(0,1),矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上,點(diǎn)D、E在x軸上,CF交y軸于點(diǎn)B(0,2),且其面積為8:
(1)此拋物線的解析式;
(2)如圖2,若點(diǎn)P為所求拋物線上的一動點(diǎn),試判斷以點(diǎn)P為圓心,PB為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系,并說明理由.
(3)如圖2,設(shè)點(diǎn)P在拋物線上且與點(diǎn)A不重合,直線PB與拋物線的另一個交點(diǎn)為Q,過點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為N、M,連接PO、QO.求證:△QMO∽△PNO.
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如圖1,已知拋物線y=-x2+b x+c經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(-3,0)兩點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求b,c的值.
(2)在第二象限的拋物線上,是否存在一點(diǎn)P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值;若不存在,請說明理由.
(3)如圖2,點(diǎn)E為線段BC上一個動點(diǎn)(不與B,C重合),經(jīng)過B、E、O三點(diǎn)的圓與過點(diǎn)B且垂直于BC的直線交于點(diǎn)F,當(dāng)△OEF面積取得最小值時,求點(diǎn)E坐標(biāo).

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(2013•南沙區(qū)一模)如圖1,已知拋物線y=
1
2
x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,且OB=2OA=4.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)P是(1)中拋物線上的一個動點(diǎn),以P為圓心,R為半徑作⊙P,求當(dāng)⊙P與拋物線的對稱軸l及x軸均相切時點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)動點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動,動點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā),以每秒
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個單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動,過點(diǎn)E作EG∥y軸,交AC于點(diǎn)G(如圖2).若E、F兩點(diǎn)同時出發(fā),運(yùn)動時間為t.則當(dāng)t為何值時,△EFG的面積是△ABC的面積的
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如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為A(O,1),矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線上,D、E在x軸上,CF交y軸于點(diǎn)B(0,2),且其面積為8.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)如圖2,若P點(diǎn)為拋物線上不同于A的一點(diǎn),連接PB并延長交拋物線于點(diǎn)Q,過點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線,垂足分別為S、R.
①求證:PB=PS;
②判斷△SBR的形狀.

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