Question

△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，CE=3BE，AE與CD交于點(diǎn)F，若AF=

4

9

，則FC的長(zhǎng)為

4

3

．

Answer 1

分析：作AO⊥BC，連接DE，做AH∥CB交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．易證△ADH全等△BDC，所以AH=BC，再由已知條件證明△ADE∽△CAD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到AE：CD=AD：CA=1：2，進(jìn)而求出FC的長(zhǎng)．

解答：解：作AO⊥BC，連接DE，做AH∥CB交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．
易證△ADH全等△BDC，∴AH=BC，
∵CE=3BE，
∴CE=

3

4

BC，CE=

3

4

AH，
∴EF：AF=CE：AH=3：4，
∴AF：AE=4：7，
∴AE=

7

9

∴CF：HF=CE：AH=3：4 CF：CH=3：7，CH=2CD，CF：CD=6：7
∵BE：BO=BD：BA=1：2，
∴DE∥AO，
∵∠BAC=120°，
∴∠B=30°，
∴∠BDE=60°，
∵BD=2DE，
∴AD：DE=CA：AD=2，
∵∠ADE=∠CAD=120°
∴△ADE∽△CAD，
∴AE：CD=AD：CA=1：2，
∴CD=2AE=

14

9

CF=

6

7

CD=

4

3

，
故答案為：

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．