Question

在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為△ABC外一點，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關系．

（1）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系是

 

；此時

Q

L

=

 

；
（2）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DM≠DN時，猜想（1）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；
（3）如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=x，則Q=

 

（用x、L表示）．

Answer 1

分析：（1）如果DM=DN，∠DMN=∠DNM，因為BD=DC，那么∠DBC=∠DCB=30°，也就有∠MBD=∠NCD=60+30=90°，直角三角形MBD、NCD中，因為BD=CD，DM=DN，根據(jù)HL定理，兩三角形全等．那么BM=NC，∠BMD=∠DNC=60°，三角形NCD中，∠NDC=30°，DN=2NC，在三角形DNM中，DM=DN，∠MDN=60°，因此三角形DMN是個等邊三角形，因此MN=DN=2NC=NC+BM，三角形AMN的周長Q=AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC=2AB，三角形ABC的周長L=3AB，因此Q：L=2：3．
（2）如果DM≠DN，我們可通過構建全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換．延長AC至E，使CE=BM，連接DE．（1）中我們已經(jīng)得出，∠MBD=∠NCD=90°，那么三角形MBD和ECD中，有了一組直角，MB=CE，BD=DC，因此兩三角形全等，那么DM=DE，∠BDM=∠CDE，∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．三角形MDN和EDN中，有DM=DE，∠EDN=∠MDN=60°，有一條公共邊，因此兩三角形全等，MN=NE，至此我們把BM轉(zhuǎn)換成了CE，把MN轉(zhuǎn)換成了NE，因為NE=CN+CE，因此NM=BM+CN．Q與L的關系的求法同（1），得出的結(jié)果是一樣的．
（3）我們可通過構建全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換，思路同（2）過D作∠CDN=∠MDB，三角形BDM和CDH中，由（1）中已經(jīng)得出的∠DCH=∠MBD=90°，我們做的角∠BDM=∠CDH，BD=CD因此兩三角形全等（ASA）．那么BM=CH，DM=DH，三角形MDN和NDH中，已知的條件有MD=DH，一條公共邊ND，要想證得兩三角形全等就需要知道∠MDN=∠HDN，因為∠CDH=∠MDB，因此∠MDH=∠BDC=120°，因為∠MDN=60°，那么∠NDH=120°-60°=60°，因此∠MDN=∠NDH，這樣就構成了兩三角形全等的條件．三角形MDN和DNH就全等了．那么NM=NH=AN+AC-BM，三角形AMN的周長Q=AN+AM+MN=AN+AB+BM+AN+AC-BM=2AN+2AB．因為AN=x，AB=

1

3

L，因此三角形AMN的周長Q=2x+

2

3

L．

解答：解：（1）如圖，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系BM+NC=MN．
此時

Q

L

=

2

3

．

（2）猜想：結(jié)論仍然成立．
證明：如圖，延長AC至E，使CE=BM，連接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
又∵△ABC是等邊三角形，
∴∠MBD=∠NCD=90°．
在△MBD與△ECD中：

BM=CE ∠MBD=∠ECD BD=DC

∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．
∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．
在△MDN與△EDN中：

DM=DE ∠MDN=∠EDN DN=DN

，
∴△MDN≌△EDN（SAS）．
∴MN=NE=NC+BM．
△AMN的周長Q=AM+AN+MN
=AM+AN+（NC+BM）
=（AM+BM）+（AN+NC）
=AB+AC
=2AB．
而等邊△ABC的周長L=3AB．
∴

Q

L

=

2AB

3AB

=

2

3

．

（3）如圖，當M、N分別在AB、CA的延長線上時，若AN=x，
則Q=2x+

2

3

L（用x、L表示）．

點評：本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)；題目中線段的轉(zhuǎn)換都是根據(jù)全等三角形來實現(xiàn)的，當題中沒有明顯的全等三角形時，我們要根據(jù)條件通過作輔助線來構建于已知和所求條件相關的全等三角形．