Question

已知：如圖，AD=BD=CD=m，AB=n，BC=p，BC∥AD，m、n為有理數(shù)．
求證：p也有理數(shù)．

Answer 1

分析：分別過(guò)點(diǎn)B、D作AD、BC的垂線(xiàn)BE和DF，垂足分別是E、F，在Rt△ABE和Rt△BED中，分別應(yīng)用勾股定理，用m和n將p表示出來(lái)，又m、n為有理數(shù)，繼而可證得p也為有理數(shù)．

解答：證明：如圖，分別過(guò)點(diǎn)B、D作AD、BC的垂線(xiàn)BE和DF，垂足分別是E、F，
則有BE=DF，BF=DE=FC=

p

2

，
在Rt△ABE中，BE²=n²-（m-

p

2

）²．
在Rt△BED中，BE²=m²-

p2

4

，
∴n²-（m-

p

2

）²=m²-

p2

4

．
解得：p=

2m2-n2

m

，
∵m、n都是有理數(shù)，
∴p也是有理數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的靈活應(yīng)用，解題關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)構(gòu)建直角三角形．