已知:如圖,正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)P(2,3),點(diǎn)D是正比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn),過點(diǎn)D分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)Q,DC、DQ分別交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)F和點(diǎn)A,過點(diǎn)A作x軸的垂線,垂足為B,AB交正比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)E.
(1)當(dāng)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為9時(shí),求:點(diǎn)E、F的坐標(biāo).
(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段OP的延長線上運(yùn)動時(shí),試猜想AE與DF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.

解:(1)設(shè)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別為y=k1x,y=,把P(2,3)分別代入得k1=,k2=6,
∴正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別為y=x,y=
又∵點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為9,
∴對于y=x,令y=9,得9=x,解得x=6,
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(6,9),
∵DC⊥x軸,DQ⊥y軸,
∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為9,點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為6,
∵點(diǎn)A與點(diǎn)F在反比例y=的圖象上,
∴把y=9代入y=得x=,把x=6代入y=得y=1,
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(,9),F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(6,1),
又∵AB⊥x軸,
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同,即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為,
而點(diǎn)E在直線y=x上,把x=代入y=x得y=1,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(,1);

(2)AE與DF相等.理由如下:
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(a,a),
則A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a,點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為a,
把y=a代入y=得x=,把x=a代入y=得y=,
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(,a),F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(a,),
∴DF=a-;
又∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同,即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為,
而點(diǎn)E在直線y=x上,把x=代入y=x得y=,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(,
∴AE=a-,
∴AE=DF.
分析:(1)先利用待定系數(shù)法可求出正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別為y=x,y=;把y=9代入y=x,得x=6,可確定D點(diǎn)坐標(biāo)為(6,9),根據(jù)題意可得A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為9,點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為6,然后把y=9代入y=得x=,把x=6代入y=得y=1,則A點(diǎn)坐標(biāo)為(,9),F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(6,1),即得到點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為,x=代入y=x得y=1,從而可確定E點(diǎn)坐標(biāo)為(,1);
(2)設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(a,a),與(1)一樣可得A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a,點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為a,把y=a代入y=得x=,把x=a代入y=得y=,即可得到A點(diǎn)坐標(biāo)為(,a),F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(a,),可得DF=a-;而點(diǎn)E的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同,即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為,把x=代入y=x得y=,則E點(diǎn)坐標(biāo)為(,),則有AE=a-,即可得到AE=DF.
點(diǎn)評:本題考查了反比例函數(shù)綜合題:點(diǎn)在圖象上,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圖象的解析式;利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;平行于y軸的直線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同;平行于x軸的直線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=
1x
的圖象交于A、B兩點(diǎn).
(1)求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)根據(jù)圖象求使正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的x的范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正比例函數(shù)y1=x,反比例函數(shù)y2=
1
x
,由y1,y2構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)y=x+
1
x
其圖象如圖所示.(因其圖精英家教網(wǎng)象似雙鉤,我們稱之為“雙鉤函數(shù)”).給出下列幾個(gè)命題:
①該函數(shù)的圖象是中心對稱圖形;
②當(dāng)x<0時(shí),該函數(shù)在x=-1時(shí)取得最大值-2;
③y的值不可能為1;
④在每個(gè)象限內(nèi),函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大.
其中正確的命題是
 
.(請寫出所有正確的命題的序號)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知正比例函數(shù)y=ax(a≠0)的圖象與反比例函致y=
kx
(k≠0)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,2-k2),另一個(gè)交點(diǎn)為B,且A、B關(guān)于原點(diǎn)O對稱,D為OB的中點(diǎn),過點(diǎn)D的線段OB的垂直平分線與x軸、y軸分別交于C、E.
(1)寫出反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式;
(2)試計(jì)算△COE的面積是△ODE面積的多少倍?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正比例函數(shù)y1=x,反比例函數(shù)y2=
1
x
,由y1,y2構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)y=x+
1
x
,其圖象如圖所示.(因其圖象似雙鉤,我們稱之為“雙鉤函數(shù)”).給出下列幾個(gè)命題:
①該函數(shù)的圖象是中心對稱圖形;
②當(dāng)x<0時(shí),該函數(shù)在x=-1時(shí)取得最大值-2;
③y的值不可能為1;
④在每個(gè)象限內(nèi),函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大.
其中正確的命題是(  )

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過三點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),C(0,3),它的頂點(diǎn)為M,又正比例函數(shù)y=kx的圖象與二次函數(shù)相交于兩點(diǎn)D、E,且P是線段DE的中點(diǎn).
(1)求該二次函數(shù)的解析式,并求函數(shù)頂點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)已知點(diǎn)E(2,3),且二次函數(shù)的函數(shù)值大于正比例函數(shù)值時(shí),試根據(jù)函數(shù)圖象求出符合條件的自變量x的取值范圍;
(3)當(dāng)k為何值時(shí)且0<k<2,求四邊形PCMB的面積為
93
16

(參考公式:已知兩點(diǎn)D(x1,y1),E(x2,y2),則線段DE的中點(diǎn)坐標(biāo)為(
x1+x2
2
,
y1+y2
2
)

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