Question

如圖，△ABC內(nèi)接與⊙O，AB是直徑，⊙O的切線PC交BA的延長線于點(diǎn)P，OF∥BC交AC于點(diǎn)E，交PC于點(diǎn)F，連接AF．
（1）判斷AF與⊙O的位置關(guān)系并說明理由；
（2）若AC=24，AF=15，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OC，先證∠OCF=90°，再證明△OAF≌△OCF，得出∠OAF=∠OCF=90°即可；
（2）先求出AE、EF，再證明△OAE∽△AFE，得出比例式

OA

AF

=

AE

EF

，即可求出半徑．

解答：解：（1）AF與⊙O相切；理由如下：連接OC；如圖所示：
∵PC是⊙O的切線，
∴OC⊥PC，
∴∠OCF=90°，
∵OF∥BC，
∴∠B=∠AOF，∠OCB=∠COF，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∴∠AOF=∠COF，
在△OAF和△OCF中，

OA=OC   ∠AOF=∠COF   OF=OF

 
∴△OAF≌△OCF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF=90°，
∴AF與⊙O相切；
（2）∵△OAF≌△OCF，
∴∠OAE=∠COE，
∴OE⊥AC，AE=

1

2

AC=12，
∴EF=

152-122

=9，
∵∠OAF=90°，
∴△OAE∽△AFE，
∴

OA

AF

=

AE

EF

，即

OA

15

=

12

9

，
∴OA=20，即⊙O的半徑為20．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)與判定和全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握切線的證法和三角形相似是解題的關(guān)鍵．