(2011•下關(guān)區(qū)一模)(1)如圖1,已知點(diǎn)P在正三角形ABC的邊BC上,以AP為邊作正三角形APQ,連接CQ.
①求證:△ABP≌△ACQ;
②若AB=6,點(diǎn)D是AQ的中點(diǎn),直接寫出當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng).
(2)已知,△EFG中,EF=EG=13,F(xiàn)G=10.如圖2,把△EFG繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到△EF'G'的位置,點(diǎn)M是邊EF'與邊FG的交點(diǎn),點(diǎn)N在邊EG'上且EN=EM,連接GN.求點(diǎn)E到直線GN的距離.
分析:(1)①根據(jù)正三角形的性質(zhì)知∠BAC=∠PAQ=60°,所以∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC;然后再由等邊三角形的邊都相等知AB=AC,AP=AQ;從而根據(jù)全等三角形的判定定理SAS來證明△ABP≌△ACQ;
(2)作輔助線“過點(diǎn)E作底邊FG的垂線,點(diǎn)H為垂足”構(gòu)建直角三角形,然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)先證明△EFM≌△EGN(SAS);最后求得∠ENG=∠EMF=90°、EM=12,即點(diǎn)E到直線GN的距離是12.
解答:解:(1)①∵三角形ABC和三角形APQ是正三角形,
∴AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ,
∴∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC,
∴∠BAP=∠CAQ,
∴△ABP≌△ACQ
②如圖:當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線為DD′,
∵AD=CD,AD′=D′Q′,
∴DD′=
1
2
CQ′=
1
2
AB=3;
∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為3.

(2)解法一:
過點(diǎn)E作底邊FG的垂線,點(diǎn)H為垂足.

在△EFG中,易得EH=12.
類似(1)可證明△EFM≌△EGN,
∴∠EFM=∠EGN,
∵∠EFG=∠EGF,
∴∠EGF=∠EGN,
∴GE是∠FGN的角平分線,
∴點(diǎn)E到直線FG和GN的距離相等,
∴點(diǎn)E到直線GN的距離是12.
解法二:
過點(diǎn)E作底邊FG的垂線,點(diǎn)H為垂足.過點(diǎn)E作直線
GN的垂線,點(diǎn)K為垂足,

在△EFG中,EH=
132-52
=12
同(1)可證明△EFM≌△EGN,
∴∠EFM=∠EGN,可證明△EFH≌△EGK,
∴EH=EK.
∴點(diǎn)E到直線GN的距離是12,
解法三:
把△EFG繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),對(duì)應(yīng)著點(diǎn)M在邊FG上從點(diǎn)F開始運(yùn)動(dòng).

由題意,在運(yùn)動(dòng)過程中,點(diǎn)E到直線GN的距離不變.
不失一般性,設(shè)∠EMF=90°.
類似(1)可證明△EFM≌△EGN,
∴∠ENG=∠EMF=90°,
求得EM=12,
∴點(diǎn)E到直線GN的距離是12.
點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形是判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì).解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的三邊關(guān)系及三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系證明△ABP≌△ACQ和△EFM≌△EGN,難度適中.
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