Question

如圖1，已知線段AC∥y軸，點(diǎn)B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y軸與G，連OB、OC．
（1）判斷△AOG的形狀，并予以證明；
（2）若點(diǎn)B、C關(guān)于y軸對(duì)稱，求證：AO⊥BO；
（3）在（2）的條件下，如圖2，點(diǎn)M為OA上一點(diǎn)，且∠ACM=45°，BM交y軸于P，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）△AOG的形狀是等腰三角形，利用已知條件證明AG=OG即可；
（2）接連BC，易證△COD≌△BOE（HL），設(shè)∠BAO=∠CAO=x，∠OBC=∠OCB=y，利用全等三角形的性質(zhì)和已知條件證明∠AOB=∠ACB=90°，即可得到AO⊥BO；
（3）連BC，作MG⊥x軸于G，BH⊥x軸于H，易證△OMG≌△OBH，OG=BH=1，MG=OH=3，所以M（-1，3）．

解答：解：（1）△AOG的形狀是等腰三角形，
理由如下：
∵AC∥y軸，
∴∠CAO=∠GOA，
∵AO平分∠BAC，
∴∠CAO=∠GAO，
∴∠GOA=∠GAO，
∴AG=OG，
∴△AOG是等腰三角形；
（2）接連BC，過O作OE⊥AB于E，
∵B、C關(guān)于y軸對(duì)稱，AC∥y軸，
∴AC⊥BC，
在Rt△COD和Rt△BOE中，

DO=OE CO=BO

，
∴△COD≌△BOE（HL），
∴∠DCO=∠EBO，
∴∠BAC+∠BOC=180°，
設(shè)∠BAO=∠CAO=x，∠OBC=∠OCB=y，
∴2x+∠BOC=180°，
又∵2y+∠BOC=180°，
∴x=y，故∠OAC=∠OBC，
∴∠AOB=∠ACB=90°，
∴AO⊥OB；
（3）連BC，作MG⊥x軸于G，BH⊥x軸于H，
則∠ACB=90°，
∵∠ACM=45°，
∴CM平分∠ACB，又AM平分∠BAC，
∴BM平分∠ABC，設(shè)∠ABM=∠CBM=z，
由（2）可得∠OMB=x+z，∠OBM=y+z=x+z
∴∠OMB=∠OBM，
∴OM=OB 
∴△OBM為等腰直角三角形，

∠MGO=∠BHO=90° ∠GMO=∠BOH OM=OB

，
∴△OMG≌△OBH（AAS），
∴OG=BH=1，MG=OH=3，
∴M（-1，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，題目的綜合性強(qiáng)、需要添加的輔助線比較多，是此題的特點(diǎn)．