【題目】如圖1ABC中,AGBC于點G,以A為直角頂點,分別以AB、AC為直角邊,向ABC作等腰RtABE和等腰RtACF,過點E、F作射線GA的垂線,垂足分別為P、Q

1)求證:AEP≌△BAG

2)試探究EPFQ之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

3)如圖2,若連接EFGA的延長線于H,由(2)中的結(jié)論你能判斷EHFH的大小關(guān)系嗎?并說明理由;

【答案】1證明見解析;2EP=FQ,證明見解析;3EH=FH,理由見解析.

【解析】試題分析:1)根據(jù)等腰RtABE的性質(zhì),求出∠EPA=EAB=AGB=90°,PEA=BAG,根據(jù)AAS推出EPA≌△AGB

2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出EP=AG,同理可得FQA≌△AGC,即可得出AG=FQ,最后等量代換即可得出答案;

3)求出∠EPH=FQH=90°,根據(jù)AAS推出EPH≌△FQH,即可得出EHFH的大小關(guān)系;

試題解析:(1)如圖1∵∠EAB=90°,EPAG,AGBC,

∴∠EPA=EAB=AGB=90°,

∴∠PEA+EAP=90°,EAP+BAG=90°,

∴∠PEA=BAG,

EPAAGB中,

,

∴△EPA≌△AGBAAS),

2EP=FQ,

證明:由(1)可得,EPA≌△AGB,

EP=AG

同理可得,FQA≌△AGC,

AG=FQ

EP=FQ;

3EH=FH

理由:如圖,∵EPAGFQAG,

∴∠EPH=FQH=90°

EPHFQH中,

,

∴△EPH≌△FQHAAS),

EH=FH

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