Question

（2013•金山區(qū)二模）如圖，已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，交AC于點D，AB于點E，若BC=8，△BCE的周長為
21，cos∠B=

5

13

．
求：（1）AB的長；
   （2）AC的長．

Answer 1

分析：（1）由DE為AC的垂直平分線，得到AE=CE，三角形BEC的周長為三邊之和，等量代換得到結果為AB+BC，由周長減去BC即可求出AB的長；
（2）過A作AF垂直于BC，在直角三角形ABF中，由AB與cosB的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出BF的長，進而利用勾股定理求出AF的長，由BC-BF求出FC的長，在直角三角形AFC中，利用勾股定理即可求出AC的長．

解答：解：（1）∵DE是AC的垂直平分線，
∴AE=CE，
∵△BEC周長為BE+BC+EC=BE+AE+BC=AB+BC=21，BC=8，
∴AB=21-8=13；
（2）過A作AF⊥BC，
在Rt△ABF中，AB=13，cosB=

5

13

，
∴BF=ABcosB=5，F(xiàn)C=BC-BF=8-5=3，
∴根據(jù)勾股定理得：AF=

AB2-BF2

=12，
在Rt△AFC中，AF=12，F(xiàn)C=3，
根據(jù)勾股定理得：AC=

AF2+FC2

=

153

=3

17

．

點評：此題屬于解直角三角形題型，涉及的知識有：勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，以及線段垂直平分線定理，熟練掌握定理是解本題的關鍵．