Question

已知：如圖①，在?ABCD中，O為對角線BD的中點．過O的直線MN交直線AB于點M，交直線CD于點N；過O的另一條直線PQ交直線AD于點P，交直線BC于點Q，連接PN、MQ．

（1）試證明△PON與△QOM全等；
（2）若點O為直線BD上任意一點，其他條件不變，則△PON與△QOM又有怎樣的關系？試就點O在圖②所示的位置，畫出圖形，證明你的猜想；
（3）若點O為直線BD上任意一點（不與點B、D重合），設OD：OB=k，PN=x，MQ=y，則y與x之間的函數(shù)關系式為

 

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質容易得到全等條件證明△DOP≌△BOQ，△PON≌△QOM，然后利用全等三角形的性質得到PO=QO，MO=NO，然后再證明△PON≌△QOM就可以解決問題；
（2）點O為直線BD上任意一點，則△MOQ∽△NOP．根據(jù)AP∥BQ，BM∥CN可以得到比例線段，而∠NOP=∠MOQ，可以證明△MOQ∽△NOP了；
（3）根據(jù)（2）和已知可以得到

OD

OB

=

NO

OM

=

PN

MQ

，根據(jù)這個等式可以求出y與x之間的函數(shù)關系式．

解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO．
∵∠DOP=∠BOQ，DO=BO，
∴△DOP≌△BOQ．
∴PO=QO．（2分）
同理MO=NO．
∵∠PON=∠QOM，
∴△PON≌△QOM．（4分）

（2）解：畫圖．（5分）
△MOQ∽△NOP．（6分）
∵AP∥BQ，BM∥CN，
∴OD：OB=OP：OQ，OD：OB=ON：OM．
∴OP：OQ=ON：OM．（7分）
∴∠NOP=∠MOQ．
∴△MOQ∽△NOP．（8分）

（3）解：根據(jù)（2）和已知可以得到

OD

OB

=

NO

OM

=

PN

MQ

，
∴y=

x

k

．（10分）

點評：此題綜合性比較強，把全等三角形，相似三角形放在平行四邊形的背景下，綜合利用這些知識來解題．