Question

已知：A（8，0），B（0，6），M是AB的中點，點P和點Q分別是x軸和y軸上的兩動點，當△PQM為等腰直角三角形時，則P點的坐標是

（

24

7

，0），（4，0），（-4+

41

，0），（-4-

41

，0）．

．

Answer 1

分析：先根據中點坐標公式求出M點的坐標，再設P（x，0），Q（0，y），由于哪個角是直角不能確定，故應分∠QMP=90°，∠QPM=90°，∠PQM=90°三種情況列出關于x、y的方程組，求出x的值即可．

解答：解：∵A（8，0），B（0，6），M是AB的中點，
∴M的坐標是（4，3），
設P（x，0），Q（0，y），
當∠QMP=90°時（如圖1所示），QM=PM，
∵△OPQ、△QPM均為直角三角形，
∴QM²+MP²=OQ²+OP²，即4²+（3-y）²+（x-4）²+3²=x²+y²①，
∵QM=PM，
∴4²+（3-y）²=（x-4）²+3²②，
①②聯立得

3y-4x=0 x2-y2-2y=0

，解得x=

24

7

或x=0（舍去），
∴P（

24

7

，0）；
當∠QPM=90°時（如圖2所示），QP=PM，
∵△OPQ、△QPM均為直角三角形，
∴MP²=QP²=OQ²+OP²，即x²+y²=（x-4）²+3²①，
MP²+QP²=QM²，即x²+y²+（x-4）²+3²=4²+（3-y）²，②，
①②聯立得，

y2+8x-25=0 2x2-8x+6y=0

，解得x=3或x=0（舍去），
∴P（3，0）；
當∠PQM=90°時，如圖3所示，QP=QM，
∵△PQM是等腰直角三角形，
∴QM²+QP²=PM²，QM=QP，
即4²+（3-y）²+x²+y²=（4-x）²+3²①，4²+（3-y）²=x²+y²②，
①②聯立得，

y2+8x-6y=0 x2+6y-25=0

，整理得，x²+8x-25=0，解得x=-4+

41

或x=-4-

41

，
∴P（-4+

41

，0）或（-4-

41

，0）
綜上所述，P（

24

7

，0），（3，0），（-4+

41

，0），（-4-

41

，0）．

點評：本題考查的是一次函數綜合題，熟知等腰直角三角形的性質是解答此題的關鍵．